कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sqrt{6 - x - x^{2}}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$\sqrt{6 - x - x^{2}}$ को ${(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 6 - x - x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $6 - x - x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]$

चरण 1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]$

चरण 1.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $6 - x - x^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]$

चरण 1.1.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]$

चरण 1.1.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]$

चरण 1.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]$

चरण 1.1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]$

चरण 1.1.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(6 - x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]$

चरण 1.1.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(6 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]$

चरण 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ और ${(6 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(6 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]$

चरण 1.1.7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(6 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 - x - x^{2}]$

चरण 1.1.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $6 - x - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 1.1.9

चूंकि $x$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 1.1.10

$0$ और $\frac{d}{d x} [- x]$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 1.1.11

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 1.1.12

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 1.1.13

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 1.1.14

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.1.15

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - (2 x))$

चरण 1.1.16

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - 2 x)$

चरण 1.1.17

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.17.1

$\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - 2 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(- 1 - 2 x) \frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.17.2

$- 1 - 2 x$ को $\frac{1}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{- 1 - 2 x}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.17.3

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (1) - 2 x}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.17.4

$- 2 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (1) - (2 x)}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.17.5

$- 1 (1) - (2 x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (1 + 2 x)}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.1.17.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = - \frac{1 + 2 x}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- \frac{1 + 2 x}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ है.

$- \frac{1 + 2 x}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{1 + 2 x}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \frac{1 + 2 x}{2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

चरण 2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$1 + 2 x = 0$

चरण 2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$2 x = - 1$

चरण 2.3.2

$2 x = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$2 x = - 1$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 2.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

चरण 2.3.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 1}{2}$

चरण 2.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{1}{2}$

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $- \frac{1}{2}$ हैं.

$- \frac{1}{2}$

चरण 4

पता लगाएं कि व्युत्पन्न कहां अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

भिन्नात्मक घातांक वाले व्यंजकों को करणी में बदलें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

घातांक को मूलक के रूप में फिर से लिखने के लिए नियम $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ लागू करें.

$- \frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{{(6 - x - x^{2})}^{1}}}$

चरण 4.1.2

किसी भी चीज़ को $1$ तक बढ़ा दिया जाता है, वह आधार ही होता है.

$- \frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{6 - x - x^{2}}}$

चरण 4.2

$\frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{6 - x - x^{2}}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$2 \sqrt{6 - x - x^{2}} = 0$

चरण 4.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

समीकरण के बाईं पक्ष की ओर मूलांक निकालने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें.

${(2 \sqrt{6 - x - x^{2}})}^{2} = 0^{2}$

चरण 4.3.2

समीकरण के प्रत्येक पक्ष को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.1

${(2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1

${(2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1.1

उत्पाद नियम को $2 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ पर लागू करें.

$2^{2} {({(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 {({(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2.1.3

घातांक को ${({(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2.1.3.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$4 {(6 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2.1.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$4 {(6 - x - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2.1.4

सरल करें.

$4 (6 - x - x^{2}) = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2.1.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 \cdot 6 + 4 (- x) + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.2.1.6.1

$4$ को $6$ से गुणा करें.

$24 + 4 (- x) + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2.1.6.2

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$24 - 4 x + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

चरण 4.3.2.2.1.6.3

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$24 - 4 x - 4 x^{2} = 0^{2}$

चरण 4.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.2.3.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$24 - 4 x - 4 x^{2} = 0$

चरण 4.3.3

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1.1

$24 - 4 x - 4 x^{2}$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1.1.1

व्यंजक को पुन: व्यवस्थित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1.1.1.1

$24$ ले जाएं.

$- 4 x - 4 x^{2} + 24 = 0$

चरण 4.3.3.1.1.1.2

$- 4 x$ और $- 4 x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$- 4 x^{2} - 4 x + 24 = 0$

चरण 4.3.3.1.1.2

$- 4 x^{2}$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$- 4 x^{2} - 4 x + 24 = 0$

चरण 4.3.3.1.1.3

$- 4 x$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$- 4 x^{2} - 4 x + 24 = 0$

चरण 4.3.3.1.1.4

$24$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$- 4 x^{2} - 4 x - 4 \cdot - 6 = 0$

चरण 4.3.3.1.1.5

$- 4 (x^{2}) - 4 (x)$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$- 4 (x^{2} + x) - 4 \cdot - 6 = 0$

चरण 4.3.3.1.1.6

$- 4 (x^{2} + x) - 4 (- 6)$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$- 4 (x^{2} + x - 6) = 0$

चरण 4.3.3.1.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + x - 6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 6$ है और जिसका योग $1$ है.

$- 2, 3$

चरण 4.3.3.1.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$- 4 ((x - 2) (x + 3)) = 0$

चरण 4.3.3.1.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- 4 (x - 2) (x + 3) = 0$

चरण 4.3.3.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

चरण 4.3.3.3

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.3.1

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 4.3.3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 4.3.3.4

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.3.4.1

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 3 = 0$

चरण 4.3.3.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x = - 3$

चरण 4.3.3.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- 4 (x - 2) (x + 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 2, - 3$

चरण 4.4

रेडिकैंड को $\sqrt{6 - x - x^{2}}$ में $0$ से कम में सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$6 - x - x^{2} < 0$

चरण 4.5

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

असमानता को समीकरण में बदलें.

$6 - x - x^{2} = 0$

चरण 4.5.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.1

$6 - x - x^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.1.1

व्यंजक को पुन: व्यवस्थित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.1.1.1

$6$ ले जाएं.

$- x - x^{2} + 6 = 0$

चरण 4.5.2.1.1.2

$- x$ और $- x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$- x^{2} - x + 6 = 0$

चरण 4.5.2.1.2

$- x^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (x^{2}) - x + 6 = 0$

चरण 4.5.2.1.3

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (x^{2}) - (x) + 6 = 0$

चरण 4.5.2.1.4

$6$ को $- 1 (- 6)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 6 = 0$

चरण 4.5.2.1.5

$- (x^{2}) - (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 6 = 0$

चरण 4.5.2.1.6

$- (x^{2} + x) - 1 (- 6)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- (x^{2} + x - 6) = 0$

चरण 4.5.2.2

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.2.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} + x - 6$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.2.2.1.1

$- 2, 3$

चरण 4.5.2.2.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$- ((x - 2) (x + 3)) = 0$

चरण 4.5.2.2.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$- (x - 2) (x + 3) = 0$

चरण 4.5.3

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

चरण 4.5.4

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.4.1

$x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 2 = 0$

चरण 4.5.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$x = 2$

चरण 4.5.5

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.5.1

$x + 3$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 3 = 0$

चरण 4.5.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$x = - 3$

चरण 4.5.6

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- (x - 2) (x + 3) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 2, - 3$

चरण 4.5.7

परीक्षण अंतराल बनाने के लिए प्रत्येक मूल का प्रयोग करें.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

चरण 4.5.8

प्रत्येक अंतराल से एक परीक्षण मान चुनें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से अंतराल असमानता को संतुष्ट करते हैं, इस मान को मूल असमानता में प्लग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.8.1

अंतराल $x < - 3$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.8.1.1

अंतराल $x < - 3$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = - 6$

चरण 4.5.8.1.2

मूल असमानता में $x$ को $- 6$ से बदलें.

$6 - (- 6) - {(- 6)}^{2} < 0$

चरण 4.5.8.1.3

बाईं ओर $- 24$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 4.5.8.2

अंतराल $- 3 < x < 2$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.8.2.1

अंतराल $- 3 < x < 2$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 0$

चरण 4.5.8.2.2

मूल असमानता में $x$ को $0$ से बदलें.

$6 - (0) - {(0)}^{2} < 0$

चरण 4.5.8.2.3

बाईं ओर $6$ दाईं ओर $0$ से कम नहीं है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन गलत है.

असत्य

चरण 4.5.8.3

अंतराल $x > 2$ पर एक मान का परीक्षण करके देखें कि क्या यह असमानता को सत्य सिद्ध करता है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.8.3.1

अंतराल $x > 2$ पर एक मान चुनें और देखें कि क्या यह मान मूल असमानता को सत्य बनाता है.

$x = 4$

चरण 4.5.8.3.2

मूल असमानता में $x$ को $4$ से बदलें.

$6 - (4) - {(4)}^{2} < 0$

चरण 4.5.8.3.3

बाईं ओर $- 14$ दाईं ओर $0$ से छोटा है, जिसका अर्थ है कि दिया गया कथन हमेशा सत्य है.

सत्य

चरण 4.5.8.4

यह निर्धारित करने के लिए अंतराल की तुलना करें कि कौन से तत्व मूल असमानता को संतुष्ट करते हैं.

$x < - 3$ सही

$- 3 < x < 2$ गलत

$x > 2$ सही

$x < - 3$ सही

$- 3 < x < 2$ गलत

$x > 2$ सही

चरण 4.5.9

हल में सभी सच्चे अंतराल होते हैं.

$x < - 3$ या $x > 2$

चरण 4.6

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x \leq - 3, x \geq 2$

$(- \infty, - 3] \cup [2, \infty)$

$x \leq - 3, x \geq 2$

$(- \infty, - 3] \cup [2, \infty)$

चरण 5

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 2) \cup (2, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - 3)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 4$ से बदलें.

$f' (- 4) = - \frac{1 + 2 (- 4)}{2 {(6 - (- 4) - {(- 4)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f' (- 4) = - \frac{1 - 8}{2 {(6 - (- 4) - {(- 4)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2.1.2

$1$ में से $8$ घटाएं.

$f' (- 4) = - \frac{- 7}{2 {(6 - (- 4) - {(- 4)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1

$- 1$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f' (- 4) = - \frac{- 7}{2 {(6 + 4 - {(- 4)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2.2.1.2

$- 4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 4) = - \frac{- 7}{2 {(6 + 4 - 1 \cdot 16)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2.2.1.3

$- 1$ को $16$ से गुणा करें.

$f' (- 4) = - \frac{- 7}{2 {(6 + 4 - 16)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2.2.2

$6$ और $4$ जोड़ें.

$f' (- 4) = - \frac{- 7}{2 {(10 - 16)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2.2.3

$10$ में से $16$ घटाएं.

$f' (- 4) = - \frac{- 7}{2 {(- 6)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (- 4) = \frac{7}{2 {(- 6)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{7}{2 {(- 6)}^{\frac{1}{2}}}$ है.

$\frac{7}{2 {(- 6)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.3

$x = - 4$ पर व्युत्पन्न $\frac{7}{2 {(- 6)}^{\frac{1}{2}}}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, - 3)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, - 3)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 3, - \frac{1}{2})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1.75$ से बदलें.

$f' (- 1.75) = - \frac{1 + 2 (- 1.75)}{2 {(6 - (- 1.75) - {(- 1.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$2$ को $- 1.75$ से गुणा करें.

$f' (- 1.75) = - \frac{1 - 3.5}{2 {(6 - (- 1.75) - {(- 1.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.2.1.2

$1$ में से $3.5$ घटाएं.

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{2 {(6 - (- 1.75) - {(- 1.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.1

$- 1$ को $- 1.75$ से गुणा करें.

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{2 {(6 + 1.75 - {(- 1.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.2.2.1.2

$- 1.75$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{2 {(6 + 1.75 - 1 \cdot 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.2.2.1.3

$- 1$ को $3.0625$ से गुणा करें.

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{2 {(6 + 1.75 - 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.2.2.2

$6$ और $1.75$ जोड़ें.

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{2 {(7.75 - 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.2.2.3

$7.75$ में से $3.0625$ घटाएं.

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{2 \cdot {4.6875}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.2.2.4

$4.6875$ को ${2.1650635}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{2 \cdot {({2.1650635}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7.2.2.5

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{2 \cdot {2.1650635}^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 7.2.2.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{2 \cdot {2.1650635}^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 7.2.2.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{2 \cdot 2.1650635}$

चरण 7.2.2.7

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{2 \cdot 2.1650635}$

चरण 7.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

$2$ को $2.1650635$ से गुणा करें.

$f' (- 1.75) = - \frac{- 2.5}{4.33012701}$

चरण 7.2.3.2

$- 2.5$ को $4.33012701$ से विभाजित करें.

$f' (- 1.75) = 0.57735026$

चरण 7.2.3.3

$- 1$ को $- 0.57735026$ से गुणा करें.

$f' (- 1.75) = 0.57735026$

चरण 7.2.4

अंतिम उत्तर $0.57735026$ है.

$0.57735026$

चरण 7.3

$x = - 1.75$ पर व्युत्पन्न $0.57735026$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- 3, - \frac{1}{2})$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- 3, - \frac{1}{2})$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 0.5, 2)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.75$ से बदलें.

$f' (0.75) = - \frac{1 + 2 (0.75)}{2 {(6 - (0.75) - {(0.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$2$ को $0.75$ से गुणा करें.

$f' (0.75) = - \frac{1 + 1.5}{2 {(6 - (0.75) - {0.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2.1.2

$1$ और $1.5$ जोड़ें.

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{2 {(6 - (0.75) - {0.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1.1

$- 1$ को $0.75$ से गुणा करें.

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{2 {(6 - 0.75 - {0.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2.2.1.2

$0.75$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{2 {(6 - 0.75 - 1 \cdot 0.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2.2.1.3

$- 1$ को $0.5625$ से गुणा करें.

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{2 {(6 - 0.75 - 0.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2.2.2

$6$ में से $0.75$ घटाएं.

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{2 {(5.25 - 0.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2.2.3

$5.25$ में से $0.5625$ घटाएं.

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{2 \cdot {4.6875}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2.2.4

$4.6875$ को ${2.1650635}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{2 \cdot {({2.1650635}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 8.2.2.5

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{2 \cdot {2.1650635}^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 8.2.2.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{2 \cdot {2.1650635}^{2 (\frac{1}{2})}}$

चरण 8.2.2.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{2 \cdot 2.1650635}$

चरण 8.2.2.7

घातांक का मान ज्ञात करें.

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{2 \cdot 2.1650635}$

चरण 8.2.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.3.1

$2$ को $2.1650635$ से गुणा करें.

$f' (0.75) = - \frac{2.5}{4.33012701}$

चरण 8.2.3.2

$2.5$ को $4.33012701$ से विभाजित करें.

$f' (0.75) = - 1 \cdot 0.57735026$

चरण 8.2.3.3

$- 1$ को $0.57735026$ से गुणा करें.

$f' (0.75) = - 0.57735026$

चरण 8.2.4

अंतिम उत्तर $- 0.57735026$ है.

$- 0.57735026$

चरण 8.3

$x = 0.75$ पर व्युत्पन्न $- 0.57735026$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- 0.5, 2)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \frac{1}{2}, 2)$ पर घटता हुआ

चरण 9

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(2, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

व्यंजक में चर $x$ को $3$ से बदलें.

$f' (3) = - \frac{1 + 2 (3)}{2 {(6 - (3) - {(3)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 9.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (3) = - \frac{1 + 6}{2 {(6 - (3) - 3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 9.2.1.2

$1$ और $6$ जोड़ें.

$f' (3) = - \frac{7}{2 {(6 - (3) - 3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 9.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (3) = - \frac{7}{2 {(6 - 3 - 3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 9.2.2.1.2

$3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (3) = - \frac{7}{2 {(6 - 3 - 1 \cdot 9)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 9.2.2.1.3

$- 1$ को $9$ से गुणा करें.

$f' (3) = - \frac{7}{2 {(6 - 3 - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 9.2.2.2

$6$ में से $3$ घटाएं.

$f' (3) = - \frac{7}{2 {(3 - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 9.2.2.3

$3$ में से $9$ घटाएं.

$f' (3) = - \frac{7}{2 {(- 6)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 9.2.3

अंतिम उत्तर $- \frac{7}{2 {(- 6)}^{\frac{1}{2}}}$ है.

$- \frac{7}{2 {(- 6)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 9.3

$x = 3$ पर व्युत्पन्न $- \frac{7}{2 {(- 6)}^{\frac{1}{2}}}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(2, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(2, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 10

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- 3, - \frac{1}{2})$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, - 3), (- \frac{1}{2}, 2), (2, \infty)$

चरण 11