कैलकुलस उदाहरण

$f (θ) = 9 \sin (10 \cos (θ))$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चूंकि $9$ , $θ$ के संबंध में स्थिर है, $θ$ के संबंध में $9 \sin (10 \cos (θ))$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d θ} [\sin (10 \cos (θ))]$ है.

$9 \frac{d}{d θ} [\sin (10 \cos (θ))]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ $f' (g (θ)) g' (θ)$ है, जहाँ $f (θ) = \sin (θ)$ और $g (θ) = 10 \cos (θ)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $10 \cos (θ)$ के रूप में सेट करें.

$9 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)])$

चरण 1.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$9 (\cos (u) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)])$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $10 \cos (θ)$ से बदलें.

$9 (\cos (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)])$

चरण 1.3

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $10$ , $θ$ के संबंध में स्थिर है, $θ$ के संबंध में $10 \cos (θ)$ का व्युत्पन्न $10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ है.

$9 \cos (10 \cos (θ)) (10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

चरण 1.3.2

$10$ को $9$ से गुणा करें.

$90 \cos (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

चरण 1.4

$θ$ के संबंध में $\cos (θ)$ का व्युत्पन्न $- \sin (θ)$ है.

$90 \cos (10 \cos (θ)) (- \sin (θ))$

चरण 1.5

$- 1$ को $90$ से गुणा करें.

$f' (θ) = - 90 \cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $- 90$ , $θ$ के संबंध में स्थिर है, $θ$ के संबंध में $- 90 \cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)$ का व्युत्पन्न $- 90 \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)]$ है.

$- 90 \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)]$

चरण 2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ है, जहाँ $f (θ) = \cos (10 \cos (θ))$ और $g (θ) = \sin (θ)$ है.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ))])$

चरण 2.3

$θ$ के संबंध में $\sin (θ)$ का व्युत्पन्न $\cos (θ)$ है.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ))])$

चरण 2.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ $f' (g (θ)) g' (θ)$ है, जहाँ $f (θ) = \cos (θ)$ और $g (θ) = 10 \cos (θ)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $10 \cos (θ)$ के रूप में सेट करें.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)]))$

चरण 2.4.2

$u$ के संबंध में $\cos (u)$ का व्युत्पन्न $- \sin (u)$ है.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (u) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)]))$

चरण 2.4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $10 \cos (θ)$ से बदलें.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)]))$

चरण 2.5

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (10 \cos (θ)) (10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])))$

चरण 2.5.2

$10$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- 10 \sin (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]))$

चरण 2.6

$θ$ के संबंध में $\cos (θ)$ का व्युत्पन्न $- \sin (θ)$ है.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- 10 \sin (10 \cos (θ)) (- \sin (θ))))$

चरण 2.7

$- 1$ को $- 10$ से गुणा करें.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (10 \sin (10 \cos (θ)) \sin (θ)))$

चरण 2.8

$\sin (θ)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) (\sin^{1} (θ) \sin (θ)))$

चरण 2.9

$\sin (θ)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)))$

चरण 2.10

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) {\sin (θ)}^{1 + 1})$

चरण 2.11

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) \sin^{2} (θ))$

चरण 2.12

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ)) - 90 (10 \sin (10 \cos (θ)) \sin^{2} (θ))$

चरण 2.12.2

$10$ को $- 90$ से गुणा करें.

$- 90 \cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) - 900 \sin (10 \cos (θ)) \sin^{2} (θ)$

चरण 2.12.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f'' (θ) = - 90 \cos (θ) \cos (10 \cos (θ)) - 900 \sin^{2} (θ) \sin (10 \cos (θ))$

चरण 3

$f (θ)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $θ$ , $- 90 \cos (θ) \cos (10 \cos (θ)) - 900 \sin^{2} (θ) \sin (10 \cos (θ))$ है.

$- 90 \cos (θ) \cos (10 \cos (θ)) - 900 \sin^{2} (θ) \sin (10 \cos (θ))$