कैलकुलस उदाहरण

$y = (5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

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चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 5 x^{2} - 10 x + 10$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$(5 x^{2} - 10 x + 10) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

चरण 1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 10 x + 10]$

चरण 1.3

अवकलन करें.

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चरण 1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 x^{2} - 10 x + 10$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10]$ है.

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

चरण 1.3.2

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x^{2}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

चरण 1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

चरण 1.3.4

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [10])$

चरण 1.3.5

चूंकि $- 10$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 10 x$ का व्युत्पन्न $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])$

चरण 1.3.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10])$

चरण 1.3.7

$- 10$ को $1$ से गुणा करें.

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x - 10 + \frac{d}{d x} [10])$

चरण 1.3.8

चूंकि $x$ के संबंध में $10$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $10$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x - 10 + 0)$

चरण 1.3.9

$10 x - 10$ और $0$ जोड़ें.

$(5 x^{2} - 10 x + 10) e^{x} + e^{x} (10 x - 10)$

चरण 1.4

सरल करें.

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चरण 1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$5 x^{2} e^{x} - 10 x e^{x} + 10 e^{x} + e^{x} (10 x - 10)$

चरण 1.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$5 x^{2} e^{x} - 10 x e^{x} + 10 e^{x} + e^{x} (10 x) + e^{x} \cdot - 10$

चरण 1.4.3

पदों को मिलाएं.

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चरण 1.4.3.1

$- 10$ को $e^{x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$5 x^{2} e^{x} - 10 x e^{x} + 10 e^{x} + e^{x} (10 x) - 10 \cdot e^{x}$

चरण 1.4.3.2

$- 10 x e^{x}$ और $e^{x} (10 x)$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.3.2.1

$e^{x}$ ले जाएं.

$5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x} - 10 x e^{x} + 10 x e^{x} - 10 e^{x}$

चरण 1.4.3.2.2

$- 10 x e^{x}$ और $10 x e^{x}$ जोड़ें.

$5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x} + 0 - 10 e^{x}$

चरण 1.4.3.3

$5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x} - 10 e^{x}$

चरण 1.4.3.4

$10 e^{x}$ में से $10 e^{x}$ घटाएं.

$5 x^{2} e^{x} + 0$

चरण 1.4.3.5

$5 x^{2} e^{x}$ और $0$ जोड़ें.

$5 x^{2} e^{x}$

चरण 1.4.4

$5 x^{2} e^{x}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$5 e^{x} x^{2}$

चरण 1.4.5

गुणनखंडों को $5 e^{x} x^{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = 5 x^{2} e^{x}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

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चरण 2.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x^{2} e^{x}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

चरण 2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.3

$5 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.4

$5 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$5 (x^{2} e^{x}) + 5 (e^{x} (2 x))$

चरण 2.5.2

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x} x$

चरण 2.5.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$5 e^{x} x^{2} + 10 e^{x} x$

चरण 2.5.4

गुणनखंडों को $5 e^{x} x^{2} + 10 e^{x} x$ में पुन: क्रमित करें.

$f'' (x) = 5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x}$