कैलकुलस उदाहरण

$g (x) = {(x^{2} + 1)}^{n}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{n}$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{n}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = n$ है.

$n u^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$n {(x^{2} + 1)}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$n {(x^{2} + 1)}^{n - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$n {(x^{2} + 1)}^{n - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 1.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$n {(x^{2} + 1)}^{n - 1} (2 x + 0)$

चरण 1.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$n {(x^{2} + 1)}^{n - 1} (2 x)$

चरण 1.2.4.2

$n {(x^{2} + 1)}^{n - 1} (2 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$f' (x) = 2 n x {(x^{2} + 1)}^{n - 1}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $2 n$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 n x {(x^{2} + 1)}^{n - 1}$ का व्युत्पन्न $2 n \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{n - 1}]$ है.

$2 n \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{n - 1}]$

चरण 2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{n - 1}$ है.

$2 n (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{n - 1}] + {(x^{2} + 1)}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{n - 1}$ और $g (x) = x^{2} + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + 1$ के रूप में सेट करें.

$2 n (x (\frac{d}{d u} [u^{n - 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = n - 1$ है.

$2 n (x ((n - 1) u^{n - 1 - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$2 n (x ((n - 1) {(x^{2} + 1)}^{n - 1 - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$- 1$ में से $1$ घटाएं.

$2 n (x ((n - 1) {(x^{2} + 1)}^{n - 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.4.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$2 n (x ((n - 1) {(x^{2} + 1)}^{n - 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{2} + 1)}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.4.3

$2 n (x ((n - 1) {(x^{2} + 1)}^{n - 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])) + {(x^{2} + 1)}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.4.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 n (x ((n - 1) {(x^{2} + 1)}^{n - 2} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 1)}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.4.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 n (x ((n - 1) {(x^{2} + 1)}^{n - 2} (2 x)) + {(x^{2} + 1)}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 n (x^{1} x ((n - 1) {(x^{2} + 1)}^{n - 2} \cdot (2)) + {(x^{2} + 1)}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 n (x^{1} x^{1} ((n - 1) {(x^{2} + 1)}^{n - 2} \cdot (2)) + {(x^{2} + 1)}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 n (x^{1 + 1} ((n - 1) {(x^{2} + 1)}^{n - 2} \cdot (2)) + {(x^{2} + 1)}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$2 n (x^{2} ((n - 1) {(x^{2} + 1)}^{n - 2} \cdot (2)) + {(x^{2} + 1)}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.8.2

$2$ को $(n - 1) {(x^{2} + 1)}^{n - 2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 n (x^{2} (2 \cdot ((n - 1) {(x^{2} + 1)}^{n - 2})) + {(x^{2} + 1)}^{n - 1} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 n (x^{2} (2 (n - 1) {(x^{2} + 1)}^{n - 2}) + {(x^{2} + 1)}^{n - 1} \cdot 1)$

चरण 2.10

${(x^{2} + 1)}^{n - 1}$ को $1$ से गुणा करें.

$2 n (x^{2} (2 (n - 1) {(x^{2} + 1)}^{n - 2}) + {(x^{2} + 1)}^{n - 1})$

चरण 2.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 n (x^{2} ((2 n + 2 \cdot - 1) {(x^{2} + 1)}^{n - 2}) + {(x^{2} + 1)}^{n - 1})$

चरण 2.11.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 n (x^{2} ((2 n + 2 \cdot - 1) {(x^{2} + 1)}^{n - 2})) + 2 n {(x^{2} + 1)}^{n - 1}$

चरण 2.11.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 n (x^{2} ((2 n - 2) {(x^{2} + 1)}^{n - 2})) + 2 n {(x^{2} + 1)}^{n - 1}$

चरण 2.11.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f'' (x) = 2 x^{2} n {(x^{2} + 1)}^{n - 2} (2 n - 2) + 2 n {(x^{2} + 1)}^{n - 1}$

चरण 3

$g (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $2 x^{2} n {(x^{2} + 1)}^{n - 2} (2 n - 2) + 2 n {(x^{2} + 1)}^{n - 1}$ है.

$2 x^{2} n {(x^{2} + 1)}^{n - 2} (2 n - 2) + 2 n {(x^{2} + 1)}^{n - 1}$