कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \log_{5} (\tan (2 x))$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \log_{5} (x)$ और $g (x) = \tan (2 x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\tan (2 x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

चरण 1.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\log_{5} (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ है.

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

चरण 1.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\tan (2 x)$ से बदलें.

$\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \tan (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 1.2.2

$u_{2}$ के संबंध में $\tan (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (u_{2})$ है.

$\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 1.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)} (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$\sec^{2} (2 x)$ और $\frac{1}{\tan (2 x) \ln (5)}$ को मिलाएं.

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 1.3.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)} (2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.3

$2$ और $\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)}$ को मिलाएं.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)} \cdot 1$

चरण 1.3.5

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $\frac{2}{\ln (5)}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x) \ln (5)}$ का व्युत्पन्न $\frac{2}{\ln (5)} \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x)}]$ है.

$\frac{2}{\ln (5)} \frac{d}{d x} [\frac{\sec^{2} (2 x)}{\tan (2 x)}]$

चरण 2.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = \sec^{2} (2 x)$ और $g (x) = \tan (2 x)$ है.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{\tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x)] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \sec (2 x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\sec (2 x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{\tan (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{\tan (2 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\sec (2 x)$ से बदलें.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{\tan (2 x) (2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.4

$2$ को $\tan (2 x)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \cdot \tan (2 x) \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sec (x)$ और $g (x) = 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.5.2

$u_{2}$ के संबंध में $\sec (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ है.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.5.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan (2 x) \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.6

$\tan (2 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 (\tan^{1} (2 x) \tan (2 x)) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.7

$\tan (2 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 (\tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x)) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.9

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.10

$\sec (2 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.11

$\sec (2 x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.12

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.13

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.13.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{2 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.13.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x] - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.13.4

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) \cdot 1 - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.13.5

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.14

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.14.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.14.2

$u_{3}$ के संबंध में $\tan (u_{3})$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (u_{3})$ है.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.14.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.15

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - {\sec (2 x)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [2 x]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.16

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{4} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.17

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - \sec^{4} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.18

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.19

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x) \cdot 1}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.20

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.20.1

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot \frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x)}{\tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.20.2

$\frac{2}{\ln (5)}$ को $\frac{4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x)}{\tan^{2} (2 x)}$ से गुणा करें.

$\frac{2 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 2 \sec^{4} (2 x))}{\ln (5) \tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.21

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.21.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (4 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 2 (- 2 \sec^{4} (2 x))}{\ln (5) \tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.21.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.21.2.1

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{8 (\tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x)) + 2 (- 2 \sec^{4} (2 x))}{\ln (5) \tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.21.2.2

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{8 \tan^{2} (2 x) \sec^{2} (2 x) - 4 \sec^{4} (2 x)}{\ln (5) \tan^{2} (2 x)}$

चरण 2.21.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{8 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 4 \sec^{4} (2 x)}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$

चरण 2.21.4

$8 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x) - 4 \sec^{4} (2 x)$ में से $4 \sec^{2} (2 x)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.21.4.1

$8 \sec^{2} (2 x) \tan^{2} (2 x)$ में से $4 \sec^{2} (2 x)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x)) - 4 \sec^{4} (2 x)}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$

चरण 2.21.4.2

$- 4 \sec^{4} (2 x)$ में से $4 \sec^{2} (2 x)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x)) + 4 \sec^{2} (2 x) (- \sec^{2} (2 x))}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$

चरण 2.21.4.3

$4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x)) + 4 \sec^{2} (2 x) (- \sec^{2} (2 x))$ में से $4 \sec^{2} (2 x)$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x))}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$

चरण 3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x))}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$ है.

$\frac{4 \sec^{2} (2 x) (2 \tan^{2} (2 x) - \sec^{2} (2 x))}{\tan^{2} (2 x) \ln (5)}$