कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sqrt[3]{2 x + 3 x}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$2 x$ और $3 x$ जोड़ें.

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{5 x}]$

चरण 1.1.2

$\sqrt[3]{5 x}$ को ${(5 x)}^{\frac{1}{3}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{3}}]$

चरण 1.1.3

$5 x$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{3}}]$

चरण 1.1.4

उत्पाद नियम को $5 (x)$ पर लागू करें.

$\frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

चरण 1.2

चूंकि $5^{\frac{1}{3}}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ का व्युत्पन्न $5^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ है.

$5^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

चरण 1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{3}$ है.

$5^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

चरण 1.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$5^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

चरण 1.5

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$5^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 1.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$5^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 1.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$5^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

चरण 1.7.2

$1$ में से $3$ घटाएं.

$5^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

चरण 1.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$5^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

चरण 1.9

$\frac{1}{3}$ और $x^{- \frac{2}{3}}$ को मिलाएं.

$5^{\frac{1}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

चरण 1.10

$5^{\frac{1}{3}}$ और $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{5^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

चरण 1.11

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{2}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f' (x) = \frac{5^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $\frac{5^{\frac{1}{3}}}{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{5^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ का व्युत्पन्न $\frac{5^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ है.

$\frac{5^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

चरण 2.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ को ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{5^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

चरण 2.2.2

घातांक को ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3} \cdot - 1}]$

चरण 2.2.2.2

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{5^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}}]$

चरण 2.2.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{5^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 2}{3}}]$

चरण 2.2.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{5^{\frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{2}{3}}]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - \frac{2}{3}$ है.

$\frac{5^{\frac{1}{3}}}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

चरण 2.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{5^{\frac{1}{3}}}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

चरण 2.5

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{5^{\frac{1}{3}}}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 2.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{5^{\frac{1}{3}}}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 2.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{5^{\frac{1}{3}}}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

चरण 2.7.2

$- 2$ में से $3$ घटाएं.

$\frac{5^{\frac{1}{3}}}{3} (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

चरण 2.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{5^{\frac{1}{3}}}{3} (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

चरण 2.9

$x^{- \frac{5}{3}}$ और $\frac{2}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{5^{\frac{1}{3}}}{3} (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

चरण 2.10

$\frac{5^{\frac{1}{3}}}{3}$ को $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ से गुणा करें.

$- \frac{5^{\frac{1}{3}} (x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2)}{3 \cdot 3}$

चरण 2.11

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.11.1

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$- \frac{5^{\frac{1}{3}} (x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2)}{9}$

चरण 2.11.2

$2$ को $x^{- \frac{5}{3}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{5^{\frac{1}{3}} (2 \cdot x^{- \frac{5}{3}})}{9}$

चरण 2.11.3

$2$ को $5^{\frac{1}{3}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{5}{3}}}{9}$

चरण 2.11.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{5}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $- \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ का व्युत्पन्न $- \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}]$ है.

$- \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}]$

चरण 3.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ को ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}]$

चरण 3.2.2

घातांक को ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3} \cdot - 1}]$

चरण 3.2.2.2

$\frac{5}{3} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.2.1

$\frac{5}{3}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$- \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5 \cdot - 1}{3}}]$

चरण 3.2.2.2.2

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 5}{3}}]$

चरण 3.2.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{3}}]$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - \frac{5}{3}$ है.

$- \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1})$

चरण 3.4

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$- \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

चरण 3.5

$- 1$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$- \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 3.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9} (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{3}})$

चरण 3.7

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$- \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9} (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 3}{3}})$

चरण 3.7.2

$- 5$ में से $3$ घटाएं.

$- \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9} (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 8}{3}})$

चरण 3.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9} (- \frac{5}{3} x^{- \frac{8}{3}})$

चरण 3.9

$x^{- \frac{8}{3}}$ और $\frac{5}{3}$ को मिलाएं.

$- \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9} (- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3})$

चरण 3.10

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9} \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$

चरण 3.10.2

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9} \cdot \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$

चरण 3.11

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{9}$ को $\frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{3}} (x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5)}{9 \cdot 3}$

चरण 3.12

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.12.1

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{8}{3}}}{9 \cdot 3}$

चरण 3.12.2

$9$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{8}{3}}}{27}$

चरण 3.12.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{8}{3}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$f''' (x) = \frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{27 x^{\frac{8}{3}}}$

चरण 4

$f (x)$ का तीसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{27 x^{\frac{8}{3}}}$ है.

$\frac{10 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}{27 x^{\frac{8}{3}}}$