कैलकुलस उदाहरण

$\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$

चरण 1

पता करें कि व्यंजक/अभिव्यक्ति $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ कहाँ अपरिभाषित है.

$- \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$

चरण 2

चूँकि $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ और $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = - \frac{1}{2}$

चरण 3

चूँकि $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ को बाईं ओर से $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ और $\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ को दाईं ओर से $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ के रूप में, फिर (EQUATION6 ) एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है.

$x = \frac{1}{2}$

चरण 4

सभी ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी की सूची बनाएंं:

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

चरण 5

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट पता करने के लिए $lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$

चरण 5.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$4 x^{2}$ को ${(2 x)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1}}$

चरण 5.2.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1^{2}}}$

चरण 5.2.3

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 2 x$ और $b = 1$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{(2 x + 1) (2 x - 1)}}$

चरण 5.3

न्यूमेरेटर और भाजक को भाजक में $x$ की उच्चतम घात से विभाजित करें, जो कि $x = \sqrt{x^{2}}$ है.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

चरण 5.4

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

चरण 5.4.2

जैसे ही $x$ $\infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

चरण 5.4.3

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

चरण 5.4.4

रेडिकल साइन के तहत सीमा को स्थानांतरित करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

चरण 5.5

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

चरण 5.5.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

चरण 5.5.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

चरण 5.5.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

चरण 5.5.1.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.2.4.1

$x$ ले जाएं.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

चरण 5.5.1.2.4.2

$x$ ले जाएं.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

चरण 5.5.1.2.4.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

चरण 5.5.1.2.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{1} x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

चरण 5.5.1.2.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{1} x^{1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

चरण 5.5.1.2.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

चरण 5.5.1.2.8

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.2.8.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

चरण 5.5.1.2.8.2

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.2.8.2.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

चरण 5.5.1.2.8.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.2.8.2.2.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

चरण 5.5.1.2.8.2.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

चरण 5.5.1.2.8.3

$- 2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

चरण 5.5.1.2.8.4

$0$ में से $1$ घटाएं.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

चरण 5.5.1.2.9

एक बहुपद की अनंत की सीमा जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, अनंत है.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

चरण 5.5.1.3

एक बहुपद की अनंत की सीमा जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, अनंत है.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

चरण 5.5.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

चरण 5.5.2

चूंकि $\frac{\infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 5.5.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 2 x + 1$ और $g (x) = 2 x - 1$ है.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.4

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.6

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.7

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.8

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(2 x + 1) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.9

$2$ को $2 x + 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot (2 x + 1) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.10

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.11

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.12

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.13

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.14

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.15

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.16

$2$ को $2 x - 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 1) + 2 \cdot (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.17

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.17.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.17.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.17.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.17.3.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.17.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.17.3.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.17.3.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.17.3.5

$4 x$ और $4 x$ जोड़ें.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x + 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.17.3.6

$2$ में से $2$ घटाएं.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.17.3.7

$8 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 5.5.3.18

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{8 x}{2 x}}}$

चरण 5.5.4

कम करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.1

$8$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.1.1

$8 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

चरण 5.5.4.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.1.2.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 (x)}}}$

चरण 5.5.4.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

चरण 5.5.4.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x}}}$

चरण 5.5.4.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.4.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{x}}}$

चरण 5.5.4.2.2

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 4}}$

चरण 5.6

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$4$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$2 \frac{1}{\sqrt{4}}$

चरण 5.6.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

चरण 5.6.2.1.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$2 (\frac{1}{2})$

चरण 5.6.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (\frac{1}{2})$

चरण 5.6.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1$

चरण 6

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट पता करने के लिए $lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$ का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} - 1}}$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$4 x^{2}$ को ${(2 x)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1}}$

चरण 6.2.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{{(2 x)}^{2} - 1^{2}}}$

चरण 6.2.3

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{(2 x + 1) (2 x - 1)}}$

चरण 6.3

न्यूमेरेटर और भाजक को भाजक में $x$ की उच्चतम घात से विभाजित करें, जो कि $x = - \sqrt{x^{2}}$ है.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

चरण 6.4

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.4.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

चरण 6.4.2

जैसे ही $x$ $- \infty$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

चरण 6.4.3

$1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $- \infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$2 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

चरण 6.4.4

$- 1$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $x$ के संबंध में स्थिर है.

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

चरण 6.4.5

रेडिकल साइन के तहत सीमा को स्थानांतरित करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}}}}$

चरण 6.5

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

चरण 6.5.1.2

न्यूमेरेटर की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

चरण 6.5.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

चरण 6.5.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

चरण 6.5.1.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1.2.4.1

$x$ ले जाएं.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

चरण 6.5.1.2.4.2

$x$ ले जाएं.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

चरण 6.5.1.2.4.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

चरण 6.5.1.2.5

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{1} x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

चरण 6.5.1.2.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{1} x^{1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

चरण 6.5.1.2.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

चरण 6.5.1.2.8

पदों को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1.2.8.1

$1$ और $1$ जोड़ें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

चरण 6.5.1.2.8.2

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1.2.8.2.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

चरण 6.5.1.2.8.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.1.2.8.2.2.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

चरण 6.5.1.2.8.2.2.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

चरण 6.5.1.2.8.3

$- 2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

चरण 6.5.1.2.8.4

$0$ में से $1$ घटाएं.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 x^{2} - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

चरण 6.5.1.2.9

सम घात वाले बहुपद की ऋणात्मक अनंत का लिमिट जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, अनंत है.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

चरण 6.5.1.3

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

चरण 6.5.1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

चरण 6.5.2

$lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

चरण 6.5.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.2

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.4

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.5

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.6

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.7

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.8

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(2 x + 1) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.9

$2$ को $2 x + 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot (2 x + 1) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.10

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.11

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.12

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.13

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.14

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.15

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.16

$2$ को $2 x - 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x + 1) + 2 \cdot (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.17

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.3.17.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.17.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 2 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.17.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.3.17.3.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.17.3.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.17.3.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x + 2 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.17.3.4

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 2 + 4 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.17.3.5

$4 x$ और $4 x$ जोड़ें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x + 2 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.17.3.6

$2$ में से $2$ घटाएं.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.17.3.7

$8 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

चरण 6.5.3.18

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{8 x}{2 x}}}$

चरण 6.5.4

कम करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.4.1

$8$ और $2$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.4.1.1

$8 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

चरण 6.5.4.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.4.1.2.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 (x)}}}$

चरण 6.5.4.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 4 x}{2 x}}}$

चरण 6.5.4.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x}{x}}}$

चरण 6.5.4.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.5.4.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x}{x}}}$

चरण 6.5.4.2.2

$4$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 4}}$

चरण 6.6

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

$4$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $- \infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$2 \frac{1}{- \sqrt{4}}$

चरण 6.6.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.2.1

$1$ और $- 1$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.2.1.1

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{4}}$

चरण 6.6.2.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{4}})$

चरण 6.6.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.2.2.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{2^{2}}})$

चरण 6.6.2.2.2

धनात्मक वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत पदों को बाहर निकालें.

$2 (- \frac{1}{2})$

चरण 6.6.2.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.2.3.1

$- \frac{1}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$2 (\frac{- 1}{2})$

चरण 6.6.2.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 (\frac{- 1}{2})$

चरण 6.6.2.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 1$

चरण 7

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट की सूची बनाएंं:

$y = 1, - 1$

चरण 8

तिरछी अनंतस्पर्शी को पता करने के लिए बहुपद भाजन का उपयोग करें. चूँकि इस व्यंजक में एक मूलांक है, इसलिए बहुपद भाजन नहीं किया जा सकता है.

परोक्ष अनंतस्पर्शी नहीं ढूँढ सकता

चरण 9

यह सभी अनंतस्पर्शी का सेट है.

ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी: $x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

हॉरिजॉन्टल ऐसिम्प्टोट: $y = 1, - 1$

परोक्ष अनंतस्पर्शी नहीं ढूँढ सकता

चरण 10