कैलकुलस उदाहरण

$g (x) = - 5 \sec (x)$ , $- \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

चरण 1

क्रांतिक बिन्दुओं को ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

चूंकि $- 5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5 \sec (x)$ का व्युत्पन्न $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ है.

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

चरण 1.1.1.2

$x$ के संबंध में $\sec (x)$ का व्युत्पन्न $\sec (x) \tan (x)$ है.

$f' (x) = - 5 \sec (x) \tan (x)$

चरण 1.1.2

$g (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 5 \sec (x) \tan (x)$ है.

$- 5 \sec (x) \tan (x)$

चरण 1.2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$

चरण 1.2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

चरण 1.2.3

$\sec (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$\sec (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\sec (x) = 0$

चरण 1.2.3.2

कोटिज्या का परिसर $y \leq - 1$ और $y \geq 1$ है. चूंकि $0$ इस श्रेणी में नहीं आता है, इसलिए कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 1.2.4

$\tan (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$\tan (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\tan (x) = 0$

चरण 1.2.4.2

$x$ के लिए $\tan (x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

स्पर्शरेखा के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम स्पर्शरेखा लें.

$x = \arctan (0)$

चरण 1.2.4.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.2.1

$\arctan (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$x = 0$

चरण 1.2.4.2.3

पहले और तीसरे चतुर्थांश में स्पर्शरेखा फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए $π$ से संदर्भ कोण जोड़ें.

$x = π + 0$

चरण 1.2.4.2.4

$π$ और $0$ जोड़ें.

$x = π$

चरण 1.2.4.2.5

$\tan (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{π}{| b |}$

चरण 1.2.4.2.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{π}{| 1 |}$

चरण 1.2.4.2.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{π}{1}$

चरण 1.2.4.2.5.4

$π$ को $1$ से विभाजित करें.

$π$

चरण 1.2.4.2.6

$\tan (x)$ फलन की अवधि $π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = π n, π + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 1.2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- 5 \sec (x) \tan (x) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = π n, π + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 1.2.6

उत्तरों को समेकित करें.

$x = π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 1.3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ अपरिभाषित है, तर्क को $\sec (x)$ में $\frac{π}{2} + π n$ के बराबर सेट करें.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 1.3.2

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 1.4

प्रत्येक $x$ मान पर $- 5 \sec (x)$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x = 0$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$- 5 \sec (0)$

चरण 1.4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$- 5 \cdot 1$

चरण 1.4.1.2.2

$- 5$ को $1$ से गुणा करें.

$- 5$

चरण 1.4.2

$x = π$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$π$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$- 5 \sec (π)$

चरण 1.4.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक कीजिए क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में खण्ड ऋणात्मक है.

$- 5 (- \sec (0))$

चरण 1.4.2.2.2

$\sec (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$- 5 (- 1 \cdot 1)$

चरण 1.4.2.2.3

$- 5 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.2.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- 5 \cdot - 1$

चरण 1.4.2.2.3.2

$- 5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$5$

चरण 1.4.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(0 + 2 π n, - 5), (π + 2 π n, 5)$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2

उन बिंदुओं को हटा दें जो अंतराल पर नहीं हैं.

$(0, - 5), (π, 5)$

चरण 3

यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से बिंदु अधिकतम या न्यूनतम हो सकते हैं, दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण का उपयोग करें।

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चूंकि $- 5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5 \sec (x) \tan (x)$ का व्युत्पन्न $- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ है.

$- 5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$

चरण 3.1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = \sec (x)$ और $g (x) = \tan (x)$ है.

$- 5 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

चरण 3.1.3

$x$ के संबंध में $\tan (x)$ का व्युत्पन्न $\sec^{2} (x)$ है.

$- 5 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

चरण 3.1.4

घातांक जोड़कर $\sec (x)$ को $\sec^{2} (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.4.1

$\sec (x)$ को $\sec^{2} (x)$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.4.1.1

$\sec (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 5 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

चरण 3.1.4.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 5 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

चरण 3.1.4.2

$1$ और $2$ जोड़ें.

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

चरण 3.1.5

$x$ के संबंध में $\sec (x)$ का व्युत्पन्न $\sec (x) \tan (x)$ है.

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

चरण 3.1.6

$\tan (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x))$

चरण 3.1.7

$\tan (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x))$

चरण 3.1.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 5 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

चरण 3.1.9

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- 5 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

चरण 3.1.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.10.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- 5 \sec^{3} (x) - 5 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

चरण 3.1.10.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 5 \tan^{2} (x) \sec (x) - 5 \sec^{3} (x)$

चरण 3.2

$0$ को $x$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें।

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$- 5 \tan^{2} (0) \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

चरण 3.2.2

$\tan (0)$ का मान ज्ञात करें.

$- 5 \cdot 0^{2} \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

चरण 3.2.3

$0$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 5 \cdot 0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

चरण 3.2.4

$- 5$ को $0$ से गुणा करें.

$0 \sec (0) - 5 \sec^{3} (0)$

चरण 3.2.5

$\sec (0)$ का मान ज्ञात करें.

$0 \cdot 1 - 5 \sec^{3} (0)$

चरण 3.2.6

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - 5 \sec^{3} (0)$

चरण 3.2.7

$\sec (0)$ का मान ज्ञात करें.

$0 - 5 \cdot 1^{3}$

चरण 3.2.8

$1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$0 - 5 \cdot 1$

चरण 3.2.9

$- 5$ को $1$ से गुणा करें.

$0 - 5$

चरण 3.2.10

$0$ में से $5$ घटाएं.

$- 5$

चरण 3.3

क्योंकि दूसरा व्युत्पन्न $0$ पर ऋणात्मक है, यह अधिकतम है।

$0$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 3.4

$π$ को $x$ के स्थान पर प्रतिस्थापित करें और सरल करें।

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$π$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$- 5 \tan^{2} (π) \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

चरण 3.4.2

$\tan (π)$ का मान ज्ञात करें.

$- 5 {(0)}^{2} \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

चरण 3.4.3

$0$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 5 \cdot 0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

चरण 3.4.4

$- 5$ को $0$ से गुणा करें.

$0 \sec (π) - 5 \sec^{3} (π)$

चरण 3.4.5

$\sec (π)$ का मान ज्ञात करें.

$0 \cdot - 1 - 5 \sec^{3} (π)$

चरण 3.4.6

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 - 5 \sec^{3} (π)$

चरण 3.4.7

$\sec (π)$ का मान ज्ञात करें.

$0 - 5 {(- 1)}^{3}$

चरण 3.4.8

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$0 - 5 \cdot - 1$

चरण 3.4.9

$- 5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$0 + 5$

चरण 3.4.10

$0$ और $5$ जोड़ें.

$5$

चरण 3.5

क्योंकि दूसरा व्युतपन्न $π$ पर धनात्मक है, यह न्यूनतम है।

$π$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 3.6

स्थानीय एक्स्ट्रेमा की सूची बनाएं

$0$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$π$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

$0$ एक स्थानीय अधिकतम है.

$π$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 4

दिए गए अंतराल में पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करने के लिए $x$ के प्रत्येक मान के लिए पाए गए $g (x)$ मानों की तुलना करें. अधिकतम उच्चतम $g (x)$ मान पर होगा और न्यूनतम न्यूनतम $g (x)$ मान पर होगा.

निरपेक्ष उचिष्ठ: $(0, - 5)$

निरपेक्ष निम्निष्ठ: $(π, 5)$

चरण 5