कैलकुलस उदाहरण

$y = 4 x - \ln (x)$

चरण 1

$y = 4 x - \ln (x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 4 x - \ln (x)$

चरण 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x - \ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

चरण 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

चरण 2.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

चरण 2.1.1.2.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

चरण 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \ln (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ है.

$4 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

चरण 2.1.1.3.2

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$4 - \frac{1}{x}$

चरण 2.1.1.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 4$

चरण 2.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- \frac{1}{x} + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = - 1$ और $g (x) = \frac{1}{x}$ है.

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.1.2.2.2

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.1.2.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.1.2.2.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.1.2.2.5

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.1.2.2.6

$x^{- 2}$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.1.2.2.7

$\frac{1}{x}$ को $0$ से गुणा करें.

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.1.2.2.8

$x^{- 2}$ और $0$ जोड़ें.

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [4]$

चरण 2.1.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x^{- 2} + 0$

चरण 2.1.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

चरण 2.1.2.4.2

$\frac{1}{x^{2}}$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

चरण 2.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{1}{x^{2}}$ है.

$\frac{1}{x^{2}}$

चरण 2.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{1}{x^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

चरण 2.2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$1 = 0$

चरण 2.2.3

$1 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 3

$f (x) = 4 x - \ln (x)$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ परिभाषित है, तर्क को $\ln (x)$ से बड़ा $0$ में सेट करें.

$x > 0$

चरण 3.2

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x > 0}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(0, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x > 0}$

चरण 4

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$(0, \infty)$

चरण 5

अंतराल $(0, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f'' (2) = \frac{1}{{(2)}^{2}}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (2) = \frac{1}{4}$

चरण 5.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{1}{4}$ है.

$\frac{1}{4}$

चरण 5.3

अंतराल $(0, \infty)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (2)$ धनात्मक है.

$(0, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 6