कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{2 x + 2}{{(x + 4)}^{2}}$

चरण 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 2 x + 2$ और $g (x) = {(x + 4)}^{2}$ है.

$\frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 2] - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

चरण 1.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

घातांक को ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 2] - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

चरण 1.1.1.2.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 2] - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.2.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{{(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.2.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{{(x + 4)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{{(x + 4)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.2.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(x + 4)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [2]) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.2.6

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{{(x + 4)}^{2} (2 + 0) - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.2.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.7.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 2 - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.2.7.2

$2$ को ${(x + 4)}^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 \cdot {(x + 4)}^{2} - (2 x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x + 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 4$ के रूप में सेट करें.

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - (2 x + 2) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - (2 x + 2) (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 4$ से बदलें.

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - (2 x + 2) (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.4.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.4.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.4.3

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.4.4

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) (1 + 0))}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.4.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.4.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) ((x + 4) \cdot 1)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.4.5.2

$x + 4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} - 2 (2 x + 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 {(x + 4)}^{2} + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.2.1.1

${(x + 4)}^{2}$ को $(x + 4) (x + 4)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 ((x + 4) (x + 4)) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 4) (x + 4)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.2.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (x (x + 4) + 4 (x + 4)) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.2.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.2.1.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.1.3.1.2

$4$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{2 (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.1.3.1.3

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{2 (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.1.3.2

$4 x$ और $4 x$ जोड़ें.

$\frac{2 (x^{2} + 8 x + 16) + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.1.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot 16 + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.2.1.5.1

$8$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 2 \cdot 16 + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.1.5.2

$2$ को $16$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 + (- 2 (2 x) - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.1.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.2.1.6.1

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 + (- 4 x - 2 \cdot 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.1.6.2

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 + (- 4 x - 4) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.1.7

FOIL विधि का उपयोग करके $(- 4 x - 4) (x + 4)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.2.1.7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x (x + 4) - 4 (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.1.7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 4 - 4 (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.1.7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.1.8

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.2.1.8.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.2.1.8.1.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.2.1.8.1.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.1.8.1.1.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x^{2} - 4 x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.1.8.1.2

$4$ को $- 4$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x^{2} - 16 x - 4 x - 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.1.8.1.3

$- 4$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x^{2} - 16 x - 4 x - 16}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.1.8.2

$- 16 x$ में से $4 x$ घटाएं.

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 32 - 4 x^{2} - 20 x - 16}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.2

$2 x^{2}$ में से $4 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{- 2 x^{2} + 16 x + 32 - 20 x - 16}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.3

$16 x$ में से $20 x$ घटाएं.

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x + 32 - 16}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.2.4

$32$ में से $16$ घटाएं.

$\frac{- 2 x^{2} - 4 x + 16}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.3.1

$- 2 x^{2} - 4 x + 16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.3.1.1

$- 2 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2}) - 4 x + 16}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.3.1.2

$- 4 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (- 2 x) + 16}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.3.1.3

$16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 (8)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.3.1.4

$2 (- x^{2}) + 2 (- 2 x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2} - 2 x) + 2 (8)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.3.1.5

$2 (- x^{2} - 2 x) + 2 (8)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2} - 2 x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.3.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.3.2.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ है और जिसका योग $b = - 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.3.2.1.1

$- 2 x$ में से $- 2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- x^{2} - 2 (x) + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.3.2.1.2

$- 2$ को $2$ जोड़ $- 4$ के रूप में फिर से लिखें

$\frac{2 (- x^{2} + (2 - 4) x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.3.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 (- x^{2} + 2 x - 4 x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.3.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.3.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{2 ((- x^{2} + 2 x) - 4 x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.3.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (x (- x + 2) + 4 (- x + 2))}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.3.2.3

महत्तम समापवर्तक, $- x + 2$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{2 ((- x + 2) (x + 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

$\frac{2 (- x + 2) (x + 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.4

$x + 4$ और ${(x + 4)}^{4}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.4.1

$2 (- x + 2) (x + 4)$ में से $x + 4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x + 4) (2 (- x + 2))}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.1.5.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.5.4.2.1

${(x + 4)}^{4}$ में से $x + 4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(x + 4) (2 (- x + 2))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

चरण 1.1.1.5.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(x + 4) (2 (- x + 2))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

चरण 1.1.1.5.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 (- x + 2)}{{(x + 4)}^{3}}$

चरण 1.1.1.5.5

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- (x) + 2)}{{(x + 4)}^{3}}$

चरण 1.1.1.5.6

$2$ को $- 1 (- 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 2))}{{(x + 4)}^{3}}$

चरण 1.1.1.5.7

$- (x) - 1 (- 2)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (- (x - 2))}{{(x + 4)}^{3}}$

चरण 1.1.1.5.8

$- (x - 2)$ को $- 1 (x - 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 (- 1 (x - 2))}{{(x + 4)}^{3}}$

चरण 1.1.1.5.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (x) = - \frac{2 (x - 2)}{{(x + 4)}^{3}}$

चरण 1.1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{2 (x - 2)}{{(x + 4)}^{3}}$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{{(x + 4)}^{3}}]$ है.

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{{(x + 4)}^{3}}]$

चरण 1.1.2.2

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{({(x + 4)}^{3})}^{2}}$

चरण 1.1.2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1

घातांक को ${({(x + 4)}^{3})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{3 \cdot 2}}$

चरण 1.1.2.3.1.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

चरण 1.1.2.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ है.

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

चरण 1.1.2.3.3

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

चरण 1.1.2.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

चरण 1.1.2.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.3.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

चरण 1.1.2.3.5.2

${(x + 4)}^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]}{{(x + 4)}^{6}}$

चरण 1.1.2.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = x + 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 4$ के रूप में सेट करें.

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 2) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

चरण 1.1.2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 2) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

चरण 1.1.2.4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 4$ से बदलें.

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 2) (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

चरण 1.1.2.5

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.1

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{3} - 3 (x - 2) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

चरण 1.1.2.5.2

${(x + 4)}^{3} - 3 (x - 2) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ में से ${(x + 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.5.2.1

${(x + 4)}^{3}$ में से ${(x + 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) - 3 (x - 2) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{6}}$

चरण 1.1.2.5.2.2

$- 3 (x - 2) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ में से ${(x + 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{6}}$

चरण 1.1.2.5.2.3

${(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ में से ${(x + 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{6}}$

चरण 1.1.2.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.6.1

${(x + 4)}^{6}$ में से ${(x + 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.6.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- 2 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.6.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.8

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.9

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.10

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.10.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2) \cdot 1}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.10.2

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 \frac{x + 4 - 3 (x - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.10.3

$- 2$ और $\frac{x + 4 - 3 (x - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 2 (x + 4 - 3 (x - 2))}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.10.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{2 (x + 4 - 3 (x - 2))}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{2 (x + 4 - 3 x - 3 \cdot - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.11.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{2 x + 2 \cdot 4 + 2 (- 3 x) + 2 (- 3 \cdot - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.11.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.11.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.11.3.1.1

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$- \frac{2 x + 8 + 2 (- 3 x) + 2 (- 3 \cdot - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.11.3.1.2

$- 3$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{2 x + 8 - 6 x + 2 (- 3 \cdot - 2)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.11.3.1.3

$2 (- 3 \cdot - 2)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.11.3.1.3.1

$- 3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$- \frac{2 x + 8 - 6 x + 2 \cdot 6}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.11.3.1.3.2

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$- \frac{2 x + 8 - 6 x + 12}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.11.3.2

$2 x$ में से $6 x$ घटाएं.

$- \frac{- 4 x + 8 + 12}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.11.3.3

$8$ और $12$ जोड़ें.

$- \frac{- 4 x + 20}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.11.4

$- 4 x + 20$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.11.4.1

$- 4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{4 (- x) + 20}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.11.4.2

$20$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{4 (- x) + 4 (5)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.11.4.3

$4 (- x) + 4 (5)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{4 (- x + 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.11.5

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{4 (- (x) + 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.11.6

$5$ को $- 1 (- 5)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{4 (- (x) - 1 (- 5))}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.11.7

$- (x) - 1 (- 5)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{4 (- (x - 5))}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.11.8

$- (x - 5)$ को $- 1 (x - 5)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{4 (- 1 (x - 5))}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.11.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- - \frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.11.10

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.2.11.11

$\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = \frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$ है.

$\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}}$

चरण 1.2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{4 (x - 5)}{{(x + 4)}^{4}} = 0$

चरण 1.2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$4 (x - 5) = 0$

चरण 1.2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$4 (x - 5) = 0$ के प्रत्येक पद को $4$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.1

$4 (x - 5) = 0$ के प्रत्येक पद को $4$ से विभाजित करें.

$\frac{4 (x - 5)}{4} = \frac{0}{4}$

चरण 1.2.3.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.2.1

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{4 (x - 5)}{4} = \frac{0}{4}$

चरण 1.2.3.1.2.1.2

$x - 5$ को $1$ से विभाजित करें.

$x - 5 = \frac{0}{4}$

चरण 1.2.3.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1.3.1

$0$ को $4$ से विभाजित करें.

$x - 5 = 0$

चरण 1.2.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $5$ जोड़ें.

$x = 5$

चरण 2

$f (x) = \frac{2 x + 2}{{(x + 4)}^{2}}$ का डोमेन ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{2 x + 2}{{(x + 4)}^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

${(x + 4)}^{2} = 0$

चरण 2.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$x + 4$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x + 4 = 0$

चरण 2.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$x = - 4$

चरण 2.3

डोमेन $x$ के सभी मान हैं जो व्यंजक को परिभाषित करते हैं.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq - 4}$

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \neq - 4}$

चरण 3

$x$ -मानों के आसपास अंतराल करें जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित हो.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 5) \cup (5, \infty)$

चरण 4

अंतराल $(- \infty, - 4)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 6$ से बदलें.

$f'' (- 6) = \frac{4 ((- 6) - 5)}{{((- 6) + 4)}^{4}}$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

$- 6$ में से $5$ घटाएं.

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{{(- 6 + 4)}^{4}}$

चरण 4.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

$- 6$ और $4$ जोड़ें.

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{{(- 2)}^{4}}$

चरण 4.2.2.2

$- 2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{16}$

चरण 4.2.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.1

$4$ को $- 11$ से गुणा करें.

$f'' (- 6) = \frac{- 44}{16}$

चरण 4.2.3.2

$- 44$ और $16$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.2.1

$- 44$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f'' (- 6) = \frac{4 (- 11)}{16}$

चरण 4.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.3.2.2.1

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{4 \cdot 4}$

चरण 4.2.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot - 11}{4 \cdot 4}$

चरण 4.2.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (- 6) = \frac{- 11}{4}$

चरण 4.2.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (- 6) = - \frac{11}{4}$

चरण 4.2.4

अंतिम उत्तर $- \frac{11}{4}$ है.

$- \frac{11}{4}$

चरण 4.3

अंतराल $(- \infty, - 4)$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (- 6)$ ऋणात्मक है.

$(- \infty, - 4)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 5

अंतराल $(- 4, 5)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f'' (0) = \frac{4 ((0) - 5)}{{((0) + 4)}^{4}}$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$0$ में से $5$ घटाएं.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{{(0 + 4)}^{4}}$

चरण 5.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$0$ और $4$ जोड़ें.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{4^{4}}$

चरण 5.2.2.2

$4$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{256}$

चरण 5.2.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

$4$ को $- 5$ से गुणा करें.

$f'' (0) = \frac{- 20}{256}$

चरण 5.2.3.2

$- 20$ और $256$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.2.1

$- 20$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f'' (0) = \frac{4 (- 5)}{256}$

चरण 5.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.2.2.1

$256$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 64}$

चरण 5.2.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 64}$

चरण 5.2.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (0) = \frac{- 5}{64}$

चरण 5.2.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (0) = - \frac{5}{64}$

चरण 5.2.4

अंतिम उत्तर $- \frac{5}{64}$ है.

$- \frac{5}{64}$

चरण 5.3

अंतराल $(- 4, 5)$ पर ग्राफ अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (0)$ ऋणात्मक है.

$(- 4, 5)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

चरण 6

अंतराल $(5, \infty)$ से किसी भी संख्या को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें और अंतराल को निर्धारित करने के लिए मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $8$ से बदलें.

$f'' (8) = \frac{4 ((8) - 5)}{{((8) + 4)}^{4}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$8$ में से $5$ घटाएं.

$f'' (8) = \frac{4 \cdot 3}{{(8 + 4)}^{4}}$

चरण 6.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$8$ और $4$ जोड़ें.

$f'' (8) = \frac{4 \cdot 3}{12^{4}}$

चरण 6.2.2.2

$12$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (8) = \frac{4 \cdot 3}{20736}$

चरण 6.2.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$f'' (8) = \frac{12}{20736}$

चरण 6.2.3.2

$12$ और $20736$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.2.1

$12$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$f'' (8) = \frac{12 (1)}{20736}$

चरण 6.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.2.2.1

$20736$ में से $12$ का गुणनखंड करें.

$f'' (8) = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 1728}$

चरण 6.2.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (8) = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 1728}$

चरण 6.2.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (8) = \frac{1}{1728}$

चरण 6.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{1}{1728}$ है.

$\frac{1}{1728}$

चरण 6.3

अंतराल $(5, \infty)$ पर ग्राफ अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (8)$ धनात्मक है.

$(5, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 7

जब दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है तो ग्राफ अवतल नीचे होता है और दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक होने पर अवतल ऊपर होता है.

$(- \infty, - 4)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

$(- 4, 5)$ पर अवतल नीचे है क्योंकि $f'' (x)$ ऋणात्मक है

$(5, \infty)$ को अवतल ऊपर है क्योंकि $f'' (x)$ धनात्मक है

चरण 8