कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = 10 x \ln (| x |)$

चरण 1

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चूंकि $10$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $10 x \ln (| x |)$ का व्युत्पन्न $10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$ है.

$10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$

चरण 1.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (| x |)$ है.

$10 (x \frac{d}{d x} [\ln (| x |)] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = | x |$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $| x |$ के रूप में सेट करें.

$10 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$10 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $| x |$ से बदलें.

$10 (x (\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.4

$\frac{1}{| x |}$ और $x$ को मिलाएं.

$10 (\frac{x}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.5

$x$ के संबंध में $| x |$ का व्युत्पन्न $\frac{x}{| x |}$ है.

$10 (\frac{x}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.6

$\frac{x}{| x |}$ को $\frac{x}{| x |}$ से गुणा करें.

$10 (\frac{x \cdot x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.7

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$10 (\frac{x^{1} x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.8

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$10 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.9

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$10 (\frac{x^{1 + 1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.10

$1$ और $1$ जोड़ें.

$10 (\frac{x^{2}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.11

निरपेक्ष मानों को गुणा करने के लिए, प्रत्येक निरपेक्ष मान के अंदर के पदों को गुणा करें.

$10 (\frac{x^{2}}{| x \cdot x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.12

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.13

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x^{1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.14

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1 + 1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.15

$1$ और $1$ जोड़ें.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 1.16

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \cdot 1)$

चरण 1.17

$\ln (| x |)$ को $1$ से गुणा करें.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |))$

चरण 1.18

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.18.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$10 \frac{x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

चरण 1.18.2

$10$ और $\frac{x^{2}}{| x^{2} |}$ को मिलाएं.

$\frac{10 x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

चरण 1.18.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.18.3.1

निरपेक्ष मान से गैर-ऋणात्मक शब्द हटा दें.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

चरण 1.18.3.2

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.18.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

चरण 1.18.3.2.2

$10$ को $1$ से विभाजित करें.

$10 + 10 \ln (| x |)$

चरण 2

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $10 + 10 \ln (| x |)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [10 \ln (| x |)]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10) + \frac{d}{d x} (10 \ln (| x |))$

चरण 2.1.2

चूंकि $x$ के संबंध में $10$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $10$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (10 \ln (| x |))$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [10 \ln (| x |)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $10$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $10 \ln (| x |)$ का व्युत्पन्न $10 \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ है.

$f'' (x) = 0 + 10 \frac{d}{d x} (\ln (| x |))$

चरण 2.2.2

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $| x |$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (| x |))$

चरण 2.2.2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (| x |))$

चरण 2.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $| x |$ से बदलें.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (| x |))$

चरण 2.2.3

$x$ के संबंध में $| x |$ का व्युत्पन्न $\frac{x}{| x |}$ है.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |})$

चरण 2.2.4

$\frac{1}{| x |}$ को $\frac{x}{| x |}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x | | x |})$

चरण 2.2.5

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

चरण 2.2.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

चरण 2.2.7

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

चरण 2.2.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x^{1 + 1} |})$

चरण 2.2.9

$1$ और $1$ जोड़ें.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x^{2} |})$

चरण 2.2.10

$10$ और $\frac{x}{| x^{2} |}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 0 + \frac{10 x}{| x^{2} |}$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$0$ और $\frac{10 x}{| x^{2} |}$ जोड़ें.

$f'' (x) = \frac{10 x}{| x^{2} |}$

चरण 2.3.2

निरपेक्ष मान से गैर-ऋणात्मक शब्द हटा दें.

$f'' (x) = \frac{10 x}{x^{2}}$

चरण 2.3.3

$x$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$10 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x^{2}}$

चरण 2.3.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x \cdot x}$

चरण 2.3.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x \cdot x}$

चरण 2.3.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{10}{x}$

चरण 3

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$10 + 10 \ln (| x |) = 0$

चरण 4

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$

चरण 4.1.2

$10 (x \frac{d}{d x} [\ln (| x |)] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $| x |$ के रूप में सेट करें.

$10 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.3.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$10 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $| x |$ से बदलें.

$10 (x (\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.4

$\frac{1}{| x |}$ और $x$ को मिलाएं.

$10 (\frac{x}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.5

$x$ के संबंध में $| x |$ का व्युत्पन्न $\frac{x}{| x |}$ है.

$10 (\frac{x}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.6

$\frac{x}{| x |}$ को $\frac{x}{| x |}$ से गुणा करें.

$10 (\frac{x \cdot x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.7

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$10 (\frac{x^{1} x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.8

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$10 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.9

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$10 (\frac{x^{1 + 1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.10

$1$ और $1$ जोड़ें.

$10 (\frac{x^{2}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.11

$10 (\frac{x^{2}}{| x \cdot x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.12

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.13

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x^{1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.14

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1 + 1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.15

$1$ और $1$ जोड़ें.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.1.16

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \cdot 1)$

चरण 4.1.17

$\ln (| x |)$ को $1$ से गुणा करें.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |))$

चरण 4.1.18

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.18.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$10 \frac{x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

चरण 4.1.18.2

$10$ और $\frac{x^{2}}{| x^{2} |}$ को मिलाएं.

$\frac{10 x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

चरण 4.1.18.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.18.3.1

निरपेक्ष मान से गैर-ऋणात्मक शब्द हटा दें.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

चरण 4.1.18.3.2

$x^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.18.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

चरण 4.1.18.3.2.2

$10$ को $1$ से विभाजित करें.

$f' (x) = 10 + 10 \ln (| x |)$

चरण 4.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $10 + 10 \ln (| x |)$ है.

$10 + 10 \ln (| x |)$

चरण 5

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $10 + 10 \ln (| x |) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$10 + 10 \ln (| x |) = 0$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $10$ घटाएं.

$10 \ln (| x |) = - 10$

चरण 5.3

$10 \ln (| x |) = - 10$ के प्रत्येक पद को $10$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$10 \ln (| x |) = - 10$ के प्रत्येक पद को $10$ से विभाजित करें.

$\frac{10 \ln (| x |)}{10} = \frac{- 10}{10}$

चरण 5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$10$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{10 \ln (| x |)}{10} = \frac{- 10}{10}$

चरण 5.3.2.1.2

$\ln (| x |)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (| x |) = \frac{- 10}{10}$

चरण 5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$- 10$ को $10$ से विभाजित करें.

$\ln (| x |) = - 1$

चरण 5.4

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (| x |)} = e^{- 1}$

चरण 5.5

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (| x |) = - 1$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- 1} = | x |$

चरण 5.6

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

समीकरण को $| x | = e^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| x | = e^{- 1}$

चरण 5.6.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$| x | = \frac{1}{e}$

चरण 5.6.3

निरपेक्ष मान पद को हटा दें. यह समीकरण के दाएं पक्ष की ओर एक $\pm$ बनाता है जो $| x | = \pm x$ है.

$x = \pm \frac{1}{e}$

चरण 5.6.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \frac{1}{e}$

चरण 5.6.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \frac{1}{e}$

चरण 5.6.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

चरण 6

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ अपरिभाषित है, तर्क को $\ln (| x |)$ से कम या उसके बराबर $0$ में सेट करें.

$| x | \leq 0$

चरण 6.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$| x | \leq 0$ को अलग-अलग लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

पहले अलग-अलग भाग के लिए अंतराल ज्ञात करने के लिए, पता लगाएं कि निरपेक्ष मान के अंदर गैर-ऋणात्मक है.

$x \geq 0$

चरण 6.2.1.2

उस हिस्से में जहां $x$ गैर-ऋणात्मक है, निरपेक्ष मान हटा दें.

$x \leq 0$

चरण 6.2.1.3

दूसरे अलग-अलग भाग के लिए अंतराल ज्ञात करने के लिए, यह पता लगाएं कि निरपेक्ष मान का आंतरिक भाग ऋणात्मक है.

$x < 0$

चरण 6.2.1.4

उस हिस्से में जहां $x$ ऋणात्मक है, निरपेक्ष मान हटा दें और $- 1$ से गुणा करें.

$- x \leq 0$

चरण 6.2.1.5

अलग-अलग रूप में लिखें.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

चरण 6.2.2

$x \leq 0$ और $x \geq 0$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें.

$x = 0$

चरण 6.2.3

$- x \leq 0$ को हल करें जब $x < 0$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1

$- x \leq 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1.1

$- x \leq 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें. असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक मान से गुणा या विभाजित करते समय, असमानता चिह्न की दिशा को पलटें.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

चरण 6.2.3.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

चरण 6.2.3.1.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x \geq \frac{0}{- 1}$

चरण 6.2.3.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.3.1.3.1

$0$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x \geq 0$

चरण 6.2.3.2

$x \geq 0$ और $x < 0$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें.

कोई हल नहीं

चरण 6.2.4

हलों का संघ ज्ञात करें.

$x = 0$

चरण 7

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

चरण 8

$x = \frac{1}{e}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$\frac{10}{\frac{1}{e}}$

चरण 9

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$10 e$

चरण 10

$x = \frac{1}{e}$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{1}{e}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 11

$x = \frac{1}{e}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{1}{e}$ से बदलें.

$f (\frac{1}{e}) = 10 (\frac{1}{e}) \ln (| \frac{1}{e} |)$

चरण 11.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.1

$10$ और $\frac{1}{e}$ को मिलाएं.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (| \frac{1}{e} |)$

चरण 11.2.2

$\frac{1}{e}$ लगभग $0.36787944$ है जो सकारात्मक है इसलिए निरपेक्ष मान हटा दें

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

चरण 11.2.3

$\frac{1}{e}$ को $1 e^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

चरण 11.2.4

$\ln (1 e^{- 1})$ को $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

चरण 11.2.5

$- 1$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

चरण 11.2.6

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

चरण 11.2.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

चरण 11.2.8

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (0 - 1)$

चरण 11.2.9

$0$ में से $1$ घटाएं.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot - 1$

चरण 11.2.10

$\frac{10}{e} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.2.10.1

$\frac{10}{e}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10 \cdot - 1}{e}$

चरण 11.2.10.2

$10$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 10}{e}$

चरण 11.2.11

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{10}{e}$

चरण 11.2.12

अंतिम उत्तर $- \frac{10}{e}$ है.

$y = - \frac{10}{e}$

चरण 12

$x = - \frac{1}{e}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$\frac{10}{- \frac{1}{e}}$

चरण 13

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$10 (- e)$

चरण 13.2

$- 1$ को $10$ से गुणा करें.

$- 10 e$

चरण 14

$x = - \frac{1}{e}$ एक स्थानीय अधिकतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = - \frac{1}{e}$ एक स्थानीय अधिकतम है.

चरण 15

$x = - \frac{1}{e}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

व्यंजक में चर $x$ को $- \frac{1}{e}$ से बदलें.

$f (- \frac{1}{e}) = 10 (- \frac{1}{e}) \ln (| - \frac{1}{e} |)$

चरण 15.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1

$10 (- \frac{1}{e})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.1.1

$- 1$ को $10$ से गुणा करें.

$f (- \frac{1}{e}) = - 10 \frac{1}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

चरण 15.2.1.2

$- 10$ और $\frac{1}{e}$ को मिलाएं.

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{- 10}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

चरण 15.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

चरण 15.2.3

$- \frac{1}{e}$ लगभग $- 0.36787944$ है जो ऋणात्मक है इसलिए नकारात्मक $- \frac{1}{e}$ और निरपेक्ष मान हटा दें

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

चरण 15.2.4

$\frac{1}{e}$ को $1 e^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

चरण 15.2.5

$\ln (1 e^{- 1})$ को $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ के रूप में फिर से लिखें.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

चरण 15.2.6

$- 1$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

चरण 15.2.7

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

चरण 15.2.8

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

चरण 15.2.9

$1$ का प्राकृतिक लघुगणक $0$ है.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (0 - 1)$

चरण 15.2.10

$0$ में से $1$ घटाएं.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot - 1$

चरण 15.2.11

$- \frac{10}{e} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.2.11.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (- \frac{1}{e}) = 1 (\frac{10}{e})$

चरण 15.2.11.2

$\frac{10}{e}$ को $1$ से गुणा करें.

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{10}{e}$

चरण 15.2.12

अंतिम उत्तर $\frac{10}{e}$ है.

$y = \frac{10}{e}$

चरण 16

ये $f (x) = 10 x \ln (| x |)$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(\frac{1}{e}, - \frac{10}{e})$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

$(- \frac{1}{e}, \frac{10}{e})$ एक स्थानीय उच्चत्तम है

चरण 17