कैलकुलस उदाहरण

$\arctan (2 x - x^{2})$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \arctan (x)$ और $g (x) = 2 x - x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $2 x - x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

चरण 1.1.1.2

$u$ के संबंध में $\arctan (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + u^{2}}$ है.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

चरण 1.1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $2 x - x^{2}$ से बदलें.

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

चरण 1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 1.1.2.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 1.1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 1.1.2.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

चरण 1.1.2.5

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 1.1.2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - (2 x))$

चरण 1.1.2.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.7.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - 2 x)$

चरण 1.1.2.7.2

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - 2 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$f' (x) = (2 - 2 x) \frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}})$ है.

$(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}})$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}) = 0$

चरण 2.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 - 2 x = 0$

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} = 0$

चरण 2.3

$2 - 2 x$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$2 - 2 x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 - 2 x = 0$

चरण 2.3.2

$x$ के लिए $2 - 2 x = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $2$ घटाएं.

$- 2 x = - 2$

चरण 2.3.2.2

$- 2 x = - 2$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.1

$- 2 x = - 2$ के प्रत्येक पद को $- 2$ से विभाजित करें.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

चरण 2.3.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.2.1

$- 2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

चरण 2.3.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 2}{- 2}$

चरण 2.3.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.2.3.1

$- 2$ को $- 2$ से विभाजित करें.

$x = 1$

चरण 2.4

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} = 0$

चरण 2.4.2

$x$ के लिए $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$1 = 0$

चरण 2.4.2.2

$1 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 2.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 1$

चरण 3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 4

प्रत्येक $x$ मान पर $\arctan (2 x - x^{2})$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x = 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\arctan (2 (1) - {(1)}^{2})$

चरण 4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\arctan (2 - {(1)}^{2})$

चरण 4.1.2.1.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\arctan (2 - 1 \cdot 1)$

चरण 4.1.2.1.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\arctan (2 - 1)$

चरण 4.1.2.2

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\arctan (1)$

चरण 4.1.2.3

$\arctan (1)$ का सटीक मान $\frac{π}{4}$ है.

$\frac{π}{4}$

चरण 4.2

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(1, \frac{π}{4})$

चरण 5