कैलकुलस उदाहरण

$\sin (x) - x \cos (x)$

चरण 1

$\sin (x) - x \cos (x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \sin (x) - x \cos (x)$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sin (x) - x \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ है.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (- x \cos (x))$

चरण 2.1.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f' (x) = \cos (x) + \frac{d}{d x} (- x \cos (x))$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x \cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ है.

$f' (x) = \cos (x) - \frac{d}{d x} (x \cos (x))$

चरण 2.1.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

$f' (x) = \cos (x) - (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

चरण 2.1.3.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

चरण 2.1.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

चरण 2.1.3.5

$\cos (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

चरण 2.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x))) - \cos (x)$

चरण 2.1.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \cos (x) + 1 (x (\sin (x))) - \cos (x)$

चरण 2.1.4.2.2

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = \cos (x) + x \sin (x) - \cos (x)$

चरण 2.1.4.2.3

$\cos (x)$ में से $\cos (x)$ घटाएं.

$f' (x) = x \sin (x) + 0$

चरण 2.1.4.2.4

$x \sin (x)$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = x \sin (x)$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $x \sin (x)$ है.

$x \sin (x)$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $x \sin (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$x \sin (x) = 0$

चरण 3.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$\sin (x) = 0$

चरण 3.3

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 3.4

$\sin (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\sin (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\sin (x) = 0$

चरण 3.4.2

$x$ के लिए $\sin (x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$x = \arcsin (0)$

चरण 3.4.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.2.1

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$x = 0$

चरण 3.4.2.3

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = π - 0$

चरण 3.4.2.4

$π$ में से $0$ घटाएं.

$x = π$

चरण 3.4.2.5

$\sin (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.4.2.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 3.4.2.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 3.4.2.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 3.4.2.6

$\sin (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $x \sin (x) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 2 π n, π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3.6

उत्तरों को समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$0$ और $2 π n$ को $2 π n$ में समेकित करें.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3.6.2

उत्तरों को समेकित करें.

$x = π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 4

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $π n$ हैं.

$π n$

चरण 5

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = x \sin (x)$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = \sin (x) - x \cos (x)$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ है.

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, π n)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $π n - 1$ से बदलें.

$f' (π n - 1) = (π n - 1) \sin (π n - 1)$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (π n - 1) = π n \sin (π n - 1) - 1 \sin (π n - 1)$

चरण 6.2.2

$- 1 \sin (π n - 1)$ को $- \sin (π n - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (π n - 1) = π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$ है.

$π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$

चरण 6.3

$x = π n - 1$ पर व्युत्पन्न $π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, π n)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, π n)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(π n, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $π n + 1$ से बदलें.

$f' (π n + 1) = (π n + 1) \sin (π n + 1)$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (π n + 1) = π n \sin (π n + 1) + 1 \sin (π n + 1)$

चरण 7.2.2

$\sin (π n + 1)$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (π n + 1) = π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$ है.

$π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$

चरण 7.3

$x = π n + 1$ पर व्युत्पन्न $π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(π n, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(π n, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(π n, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, π n)$

चरण 9