कैलकुलस उदाहरण

$\arctan (x^{2} - 2 x)$

चरण 1

$\arctan (x^{2} - 2 x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \arctan (x^{2} - 2 x)$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \arctan (x)$ और $g (x) = x^{2} - 2 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} - 2 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

चरण 2.1.1.2

$u$ के संबंध में $\arctan (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + u^{2}}$ है.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

चरण 2.1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} - 2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

चरण 2.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ है.

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

चरण 2.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

चरण 2.1.2.3

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2 \cdot 1)$

चरण 2.1.2.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.5.1

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2)$

चरण 2.1.2.5.2

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} (2 x - 2)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$f' (x) = (2 x - 2) \frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$ है.

$(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$

चरण 3.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$2 x - 2 = 0$

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

चरण 3.3

$2 x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$2 x - 2$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$2 x - 2 = 0$

चरण 3.3.2

$x$ के लिए $2 x - 2 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2$ जोड़ें.

$2 x = 2$

चरण 3.3.2.2

$2 x = 2$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

$2 x = 2$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

चरण 3.3.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

चरण 3.3.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{2}{2}$

चरण 3.3.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.3.1

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$x = 1$

चरण 3.4

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

चरण 3.4.2

$x$ के लिए $\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$1 = 0$

चरण 3.4.2.2

$1 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 3.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $(2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}}) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 1$

चरण 4

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $1$ हैं.

$1$

चरण 5

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = (2 x - 2) (\frac{1}{1 + {(x^{2} - 2 x)}^{2}})$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = \arctan (x^{2} - 2 x)$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ है.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, 1)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $0$ से बदलें.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {({(0)}^{2} - 2 \cdot 0)}^{2}})$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.1

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {(0 - 2 \cdot 0)}^{2}})$

चरण 6.2.1.1.2

$- 2$ को $0$ से गुणा करें.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + {(0 + 0)}^{2}})$

चरण 6.2.1.2

$0$ और $0$ जोड़ें.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + 0^{2}})$

चरण 6.2.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1 + 0})$

चरण 6.2.1.4

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1})$

चरण 6.2.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (0) = (2 (0) - 2) (\frac{1}{1})$

चरण 6.2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (0) = (2 (0) - 2) \cdot 1$

चरण 6.2.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.2.1

$2 (0) - 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (0) = 2 (0) - 2$

चरण 6.2.2.2.2

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$f' (0) = 0 - 2$

चरण 6.2.2.2.3

$0$ में से $2$ घटाएं.

$f' (0) = - 2$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 2$ है.

$- 2$

चरण 6.3

$x = 0$ पर व्युत्पन्न $- 2$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, 1)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, 1)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(1, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $2$ से बदलें.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {({(2)}^{2} - 2 \cdot 2)}^{2}})$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1.1

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {(4 - 2 \cdot 2)}^{2}})$

चरण 7.2.1.1.2

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + {(4 - 4)}^{2}})$

चरण 7.2.1.2

$4$ में से $4$ घटाएं.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + 0^{2}})$

चरण 7.2.1.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1 + 0})$

चरण 7.2.1.4

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1})$

चरण 7.2.2

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (2) = (2 (2) - 2) (\frac{1}{1})$

चरण 7.2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (2) = (2 (2) - 2) \cdot 1$

चरण 7.2.2.2

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.2.1

$2 (2) - 2$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (2) = 2 (2) - 2$

चरण 7.2.2.2.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (2) = 4 - 2$

चरण 7.2.2.2.3

$4$ में से $2$ घटाएं.

$f' (2) = 2$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $2$ है.

$2$

चरण 7.3

$x = 2$ पर व्युत्पन्न $2$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(1, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(1, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(1, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, 1)$

चरण 9