कैलकुलस उदाहरण

$- 4 \cos^{2} (x)$

चरण 1

$- 4 \cos^{2} (x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = - 4 \cos^{2} (x)$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चूंकि $- 4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4 \cos^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ है.

$f' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \cos^{2} (x)$

चरण 2.1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$f' (x) = - 4 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 2.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$f' (x) = - 4 (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 2.1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$f' (x) = - 4 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 2.1.3

$2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$f' (x) = - 8 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

चरण 2.1.4

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$f' (x) = - 8 \cos (x) (- \sin (x))$

चरण 2.1.5

$- 1$ को $- 8$ से गुणा करें.

$f' (x) = 8 \cos (x) \sin (x)$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $8 \cos (x) \sin (x)$ है.

$8 \cos (x) \sin (x)$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $8 \cos (x) \sin (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$8 \cos (x) \sin (x) = 0$

चरण 3.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

चरण 3.3

$\cos (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$\cos (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\cos (x) = 0$

चरण 3.3.2

$x$ के लिए $\cos (x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (0)$

चरण 3.3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$x = \frac{π}{2}$

चरण 3.3.2.3

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

चरण 3.3.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.4.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 3.3.2.4.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.4.2.1

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 3.3.2.4.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 3.3.2.4.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.4.3.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 π - π}{2}$

चरण 3.3.2.4.3.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{3 π}{2}$

चरण 3.3.2.5

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.3.2.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 3.3.2.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 3.3.2.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 3.3.2.6

$\cos (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3.4

$\sin (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\sin (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\sin (x) = 0$

चरण 3.4.2

$x$ के लिए $\sin (x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$x = \arcsin (0)$

चरण 3.4.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.2.1

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$x = 0$

चरण 3.4.2.3

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = π - 0$

चरण 3.4.2.4

$π$ में से $0$ घटाएं.

$x = π$

चरण 3.4.2.5

$\sin (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.4.2.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 3.4.2.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 3.4.2.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 3.4.2.6

$\sin (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $8 \cos (x) \sin (x) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3.6

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{π n}{2}$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 4

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $\frac{π n}{2}$ हैं.

$\frac{π n}{2}$

चरण 5

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = 8 \cos (x) \sin (x)$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = - 4 \cos^{2} (x)$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ है.

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, \frac{π n}{2})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π n}{2} - 1$ से बदलें.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = 8 \cos (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

चरण 6.2

अंतिम उत्तर $8 \cos (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ है.

$8 \cos (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

चरण 6.3

सरल करें.

$8 \cos (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

चरण 6.4

$x = \frac{π n}{2} - 1$ पर व्युत्पन्न $8 \cos (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, \frac{π n}{2})$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, \frac{π n}{2})$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(\frac{π n}{2}, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π n}{2} + 1$ से बदलें.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = 8 \cos (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

चरण 7.2

अंतिम उत्तर $8 \cos (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ है.

$8 \cos (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

चरण 7.3

सरल करें.

$8 \cos (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

चरण 7.4

$x = \frac{π n}{2} + 1$ पर व्युत्पन्न $8 \cos (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(\frac{π n}{2}, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(\frac{π n}{2}, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(\frac{π n}{2}, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, \frac{π n}{2})$

चरण 9