कैलकुलस उदाहरण

$3 x^{2} \ln (x^{2}) - 1$

चरण 1

$3 x^{2} \ln (x^{2}) - 1$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 3 x^{2} \ln (x^{2}) - 1$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{2} \ln (x^{2}) - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x^{2})]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2} \ln (x^{2})$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x^{2})]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \ln (x^{2})$ है.

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.3.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$3 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2}$ से बदलें.

$3 (x^{2} (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 (x^{2} (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.5

$3 (x^{2} (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.6

$2$ और $\frac{1}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$3 (x^{2} (\frac{2}{x^{2}} x) + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.7

$\frac{2}{x^{2}}$ और $x$ को मिलाएं.

$3 (x^{2} \frac{2 x}{x^{2}} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.8

$x$ और $x^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.8.1

$2 x$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{2} \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.8.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.8.2.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$3 (x^{2} \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.8.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 (x^{2} \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.8.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 (x^{2} \frac{2}{x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.9

$x^{2}$ और $\frac{2}{x}$ को मिलाएं.

$3 (\frac{x^{2} \cdot 2}{x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.10

$2$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 (\frac{2 \cdot x^{2}}{x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.11

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.11.1

$2 x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$3 (\frac{x (2 x)}{x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.11.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.11.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 (\frac{x (2 x)}{x^{1}} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.11.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$3 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.11.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$3 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.11.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$3 (\frac{2 x}{1} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.2.11.2.5

$2 x$ को $1$ से विभाजित करें.

$3 (2 x + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 2.1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$3 (2 x + \ln (x^{2}) (2 x)) + 0$

चरण 2.1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (2 x) + 3 (\ln (x^{2}) (2 x)) + 0$

चरण 2.1.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.2.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$6 x + 3 (\ln (x^{2}) (2 x)) + 0$

चरण 2.1.4.2.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$6 x + 6 (\ln (x^{2}) (x)) + 0$

चरण 2.1.4.2.3

$6 x + 6 \ln (x^{2}) x$ और $0$ जोड़ें.

$6 x + 6 \ln (x^{2}) x$

चरण 2.1.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = 6 x \ln (x^{2}) + 6 x$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $6 x \ln (x^{2}) + 6 x$ है.

$6 x \ln (x^{2}) + 6 x$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $6 x \ln (x^{2}) + 6 x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$6 x \ln (x^{2}) + 6 x = 0$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $6 x$ घटाएं.

$6 x \ln (x^{2}) = - 6 x$

चरण 3.3

$6 x \ln (x^{2}) = - 6 x$ के प्रत्येक पद को $6 x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$6 x \ln (x^{2}) = - 6 x$ के प्रत्येक पद को $6 x$ से विभाजित करें.

$\frac{6 x \ln (x^{2})}{6 x} = \frac{- 6 x}{6 x}$

चरण 3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$6$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{6 x \ln (x^{2})}{6 x} = \frac{- 6 x}{6 x}$

चरण 3.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x \ln (x^{2})}{x} = \frac{- 6 x}{6 x}$

चरण 3.3.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \ln (x^{2})}{x} = \frac{- 6 x}{6 x}$

चरण 3.3.2.2.2

$\ln (x^{2})$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (x^{2}) = \frac{- 6 x}{6 x}$

चरण 3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$- 6$ और $6$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.1

$- 6 x$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$\ln (x^{2}) = \frac{6 (- x)}{6 x}$

चरण 3.3.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.2.1

$6 x$ में से $6$ का गुणनखंड करें.

$\ln (x^{2}) = \frac{6 (- x)}{6 (x)}$

चरण 3.3.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (x^{2}) = \frac{6 (- x)}{6 x}$

चरण 3.3.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (x^{2}) = \frac{- x}{x}$

चरण 3.3.3.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (x^{2}) = \frac{- x}{x}$

चरण 3.3.3.2.2

$- 1$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (x^{2}) = - 1$

चरण 3.4

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{- 1}$

चरण 3.5

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (x^{2}) = - 1$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- 1} = x^{2}$

चरण 3.6

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

समीकरण को $x^{2} = e^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} = e^{- 1}$

चरण 3.6.2

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \pm \sqrt{e^{- 1}}$

चरण 3.6.3

$\pm \sqrt{e^{- 1}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{e}}$

चरण 3.6.3.2

$\sqrt{\frac{1}{e}}$ को $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e}}$

चरण 3.6.3.3

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e}}$

चरण 3.6.3.4

$\frac{1}{\sqrt{e}}$ को $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e}} \cdot \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$

चरण 3.6.3.5

भाजक को मिलाएं और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.5.1

$\frac{1}{\sqrt{e}}$ को $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ से गुणा करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e} \sqrt{e}}$

चरण 3.6.3.5.2

$\sqrt{e}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1} \sqrt{e}}$

चरण 3.6.3.5.3

$\sqrt{e}$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1} {\sqrt{e}}^{1}}$

चरण 3.6.3.5.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1 + 1}}$

चरण 3.6.3.5.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{2}}$

चरण 3.6.3.5.6

${\sqrt{e}}^{2}$ को $e$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.5.6.1

$\sqrt{e}$ को $e^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 3.6.3.5.6.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 3.6.3.5.6.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.6.3.5.6.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.5.6.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{2}{2}}}$

चरण 3.6.3.5.6.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{1}}$

चरण 3.6.3.5.6.5

सरल करें.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e}$

चरण 3.6.4

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.4.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = \frac{\sqrt{e}}{e}$

चरण 3.6.4.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - \frac{\sqrt{e}}{e}$

चरण 3.6.4.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = \frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$

चरण 4

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $\frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$ हैं.

$\frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$

चरण 5

पता लगाएं कि व्युत्पन्न कहां अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ अपरिभाषित है, तर्क को $\ln (x^{2})$ से कम या उसके बराबर $0$ में सेट करें.

$x^{2} \leq 0$

चरण 5.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए असमिका के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{0}$

चरण 5.2.2

समीकरण को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$| x | \leq \sqrt{0}$

चरण 5.2.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1

$\sqrt{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.2.1.1

$0$ को $0^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$| x | \leq \sqrt{0^{2}}$

चरण 5.2.2.2.1.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$| x | \leq | 0 |$

चरण 5.2.2.2.1.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $0$ के बीच की दूरी $0$ है.

$| x | \leq 0$

चरण 5.2.3

$| x | \leq 0$ को अलग-अलग लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.3.1

पहले अलग-अलग भाग के लिए अंतराल ज्ञात करने के लिए, पता लगाएं कि निरपेक्ष मान के अंदर गैर-ऋणात्मक है.

$x \geq 0$

चरण 5.2.3.2

उस हिस्से में जहां $x$ गैर-ऋणात्मक है, निरपेक्ष मान हटा दें.

$x \leq 0$

चरण 5.2.3.3

दूसरे अलग-अलग भाग के लिए अंतराल ज्ञात करने के लिए, यह पता लगाएं कि निरपेक्ष मान का आंतरिक भाग ऋणात्मक है.

$x < 0$

चरण 5.2.3.4

उस हिस्से में जहां $x$ ऋणात्मक है, निरपेक्ष मान हटा दें और $- 1$ से गुणा करें.

$- x \leq 0$

चरण 5.2.3.5

अलग-अलग रूप में लिखें.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

चरण 5.2.4

$x \leq 0$ और $x \geq 0$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें.

$x = 0$

चरण 5.2.5

$- x \leq 0$ को हल करें जब $x < 0$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1

$- x \leq 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1.1

$- x \leq 0$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें. असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक मान से गुणा या विभाजित करते समय, असमानता चिह्न की दिशा को पलटें.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

चरण 5.2.5.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

चरण 5.2.5.1.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x \geq \frac{0}{- 1}$

चरण 5.2.5.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1.3.1

$0$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x \geq 0$

चरण 5.2.5.2

$x \geq 0$ और $x < 0$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें.

कोई हल नहीं

चरण 5.2.6

हलों का संघ ज्ञात करें.

$x = 0$

चरण 6

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e}) \cup (- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{e}}{e}) \cup (\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1.60653067$ से बदलें.

$f' (- 1.60653067) = 6 (- 1.60653067) \ln ({(- 1.60653067)}^{2}) + 6 (- 1.60653067)$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$6$ को $- 1.60653067$ से गुणा करें.

$f' (- 1.60653067) = - 9.63918402 \ln ({(- 1.60653067)}^{2}) + 6 (- 1.60653067)$

चरण 7.2.1.2

$- 1.60653067$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1.60653067) = - 9.63918402 \ln (2.58094079) + 6 (- 1.60653067)$

चरण 7.2.1.3

$9.63918402$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 9.63918402 \ln (2.58094079)$ को सरल करें.

$f' (- 1.60653067) = - \ln ({2.58094079}^{9.63918402}) + 6 (- 1.60653067)$

चरण 7.2.1.4

$2.58094079$ को $9.63918402$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1.60653067) = - \ln (9315.46036547) + 6 (- 1.60653067)$

चरण 7.2.1.5

$6$ को $- 1.60653067$ से गुणा करें.

$f' (- 1.60653067) = - \ln (9315.46036547) - 9.63918402$

चरण 7.2.2

$- \ln (9315.46036547)$ में से $9.63918402$ घटाएं.

$f' (- 1.60653067) = - 18.77861472$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $- 18.77861472$ है.

$- 18.77861472$

चरण 7.3

$x = - 1.60653067$ पर व्युत्पन्न $- 18.77861472$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ पर घटता हुआ

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- 0.60653067, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 0.30326533$ से बदलें.

$f' (- 0.30326533) = 6 (- 0.30326533) \ln ({(- 0.30326533)}^{2}) + 6 (- 0.30326533)$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

$6$ को $- 0.30326533$ से गुणा करें.

$f' (- 0.30326533) = - 1.81959201 \ln ({(- 0.30326533)}^{2}) + 6 (- 0.30326533)$

चरण 8.2.1.2

$- 0.30326533$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 0.30326533) = - 1.81959201 \ln (0.09196986) + 6 (- 0.30326533)$

चरण 8.2.1.3

$1.81959201$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 1.81959201 \ln (0.09196986)$ को सरल करें.

$f' (- 0.30326533) = - \ln ({0.09196986}^{1.81959201}) + 6 (- 0.30326533)$

चरण 8.2.1.4

$0.09196986$ को $1.81959201$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 0.30326533) = - \ln (0.01300941) + 6 (- 0.30326533)$

चरण 8.2.1.5

$6$ को $- 0.30326533$ से गुणा करें.

$f' (- 0.30326533) = - \ln (0.01300941) - 1.81959201$

चरण 8.2.2

$- \ln (0.01300941)$ में से $1.81959201$ घटाएं.

$f' (- 0.30326533) = 2.52249008$

चरण 8.2.3

अंतिम उत्तर $2.52249008$ है.

$2.52249008$

चरण 8.3

$x = - 0.30326533$ पर व्युत्पन्न $2.52249008$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- 0.60653067, 0)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0)$ पर बढ़ रहा है

चरण 9

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.30326533$ से बदलें.

$f' (0.30326533) = 6 (0.30326533) \ln ({(0.30326533)}^{2}) + 6 (0.30326533)$

चरण 9.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1

$6$ को $0.30326533$ से गुणा करें.

$f' (0.30326533) = 1.81959201 \ln ({(0.30326533)}^{2}) + 6 (0.30326533)$

चरण 9.2.1.2

$0.30326533$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (0.30326533) = 1.81959201 \ln (0.09196986) + 6 (0.30326533)$

चरण 9.2.1.3

$1.81959201$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $1.81959201 \ln (0.09196986)$ को सरल करें.

$f' (0.30326533) = \ln ({0.09196986}^{1.81959201}) + 6 (0.30326533)$

चरण 9.2.1.4

$0.09196986$ को $1.81959201$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (0.30326533) = \ln (0.01300941) + 6 (0.30326533)$

चरण 9.2.1.5

$6$ को $0.30326533$ से गुणा करें.

$f' (0.30326533) = \ln (0.01300941) + 1.81959201$

चरण 9.2.2

$\ln (0.01300941)$ और $1.81959201$ जोड़ें.

$f' (0.30326533) = - 2.52249008$

चरण 9.2.3

अंतिम उत्तर $- 2.52249008$ है.

$- 2.52249008$

चरण 9.3

$x = 0.30326533$ पर व्युत्पन्न $- 2.52249008$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ पर घटता हुआ

चरण 10

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

व्यंजक में चर $x$ को $1.60653067$ से बदलें.

$f' (1.60653067) = 6 (1.60653067) \ln ({(1.60653067)}^{2}) + 6 (1.60653067)$

चरण 10.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.1

$6$ को $1.60653067$ से गुणा करें.

$f' (1.60653067) = 9.63918402 \ln ({(1.60653067)}^{2}) + 6 (1.60653067)$

चरण 10.2.1.2

$1.60653067$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (1.60653067) = 9.63918402 \ln (2.58094079) + 6 (1.60653067)$

चरण 10.2.1.3

$9.63918402$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $9.63918402 \ln (2.58094079)$ को सरल करें.

$f' (1.60653067) = \ln ({2.58094079}^{9.63918402}) + 6 (1.60653067)$

चरण 10.2.1.4

$2.58094079$ को $9.63918402$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (1.60653067) = \ln (9315.46036547) + 6 (1.60653067)$

चरण 10.2.1.5

$6$ को $1.60653067$ से गुणा करें.

$f' (1.60653067) = \ln (9315.46036547) + 9.63918402$

चरण 10.2.2

$\ln (9315.46036547)$ और $9.63918402$ जोड़ें.

$f' (1.60653067) = 18.77861472$

चरण 10.2.3

अंतिम उत्तर $18.77861472$ है.

$18.77861472$

चरण 10.3

$x = 1.60653067$ पर व्युत्पन्न $18.77861472$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 11

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0), (\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e}), (0, \frac{\sqrt{e}}{e})$

चरण 12