कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x^{4}}{x - 15}$

चरण 1

$\frac{x^{4}}{x - 15}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{x^{4}}{x - 15}$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = x - 15$ है.

$\frac{(x - 15) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 15]}{{(x - 15)}^{2}}$

चरण 2.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{(x - 15) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 15]}{{(x - 15)}^{2}}$

चरण 2.1.2.2

$4$ को $x - 15$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{4 \cdot (x - 15) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 15]}{{(x - 15)}^{2}}$

चरण 2.1.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 15$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ है.

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15])}{{(x - 15)}^{2}}$

चरण 2.1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 15])}{{(x - 15)}^{2}}$

चरण 2.1.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $- 15$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 15$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} (1 + 0)}{{(x - 15)}^{2}}$

चरण 2.1.2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.6.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} \cdot 1}{{(x - 15)}^{2}}$

चरण 2.1.2.6.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

चरण 2.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(4 x + 4 \cdot - 15) x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

चरण 2.1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

चरण 2.1.3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.3.1.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.3.1.1.1

$x^{3}$ ले जाएं.

$\frac{4 (x^{3} x) + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

चरण 2.1.3.3.1.1.2

$x^{3}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.3.1.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{4 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

चरण 2.1.3.3.1.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{4 x^{3 + 1} + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

चरण 2.1.3.3.1.1.3

$3$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{4 x^{4} + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

चरण 2.1.3.3.1.2

$4$ को $- 15$ से गुणा करें.

$\frac{4 x^{4} - 60 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

चरण 2.1.3.3.2

$4 x^{4}$ में से $x^{4}$ घटाएं.

$\frac{3 x^{4} - 60 x^{3}}{{(x - 15)}^{2}}$

चरण 2.1.3.4

$3 x^{4} - 60 x^{3}$ में से $3 x^{3}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.4.1

$3 x^{4}$ में से $3 x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 x^{3} (x) - 60 x^{3}}{{(x - 15)}^{2}}$

चरण 2.1.3.4.2

$- 60 x^{3}$ में से $3 x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (- 20)}{{(x - 15)}^{2}}$

चरण 2.1.3.4.3

$3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (- 20)$ में से $3 x^{3}$ का गुणनखंड करें.

$f' (x) = \frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$ है.

$\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}} = 0$

चरण 3.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$3 x^{3} (x - 20) = 0$

चरण 3.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x^{3} = 0$

$x - 20 = 0$

चरण 3.3.2

$x^{3}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$x^{3}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x^{3} = 0$

चरण 3.3.2.2

$x$ के लिए $x^{3} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I

$x = \sqrt[3]{0}$

चरण 3.3.2.2.2

$\sqrt[3]{0}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.2.1

$0$ को $0^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

चरण 3.3.2.2.2.2

वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.

$x = 0$

चरण 3.3.3

$x - 20$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$x - 20$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 20 = 0$

चरण 3.3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $20$ जोड़ें.

$x = 20$

चरण 3.3.4

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $3 x^{3} (x - 20) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, 20$

चरण 4

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $0, 20$ हैं.

$0, 20$

चरण 5

पता लगाएं कि व्युत्पन्न कहां अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

${(x - 15)}^{2} = 0$

चरण 5.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$x - 15$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x - 15 = 0$

चरण 5.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $15$ जोड़ें.

$x = 15$

चरण 6

$(- \infty, \infty)$ को $x$ मानों के आस-पास अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित बनाते हैं.

$(- \infty, 0) \cup (0, 15) \cup (15, 20) \cup (20, \infty)$

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f' (- 1) = \frac{3 {(- 1)}^{3} ((- 1) - 20)}{{((- 1) - 15)}^{2}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$- 1$ में से $20$ घटाएं.

$f' (- 1) = \frac{3 {(- 1)}^{3} \cdot - 21}{{(- 1 - 15)}^{2}}$

चरण 7.2.1.2

$- 21$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = \frac{- 63 {(- 1)}^{3}}{{(- 1 - 15)}^{2}}$

चरण 7.2.1.3

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = \frac{- 63 \cdot - 1}{{(- 1 - 15)}^{2}}$

चरण 7.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$- 1$ में से $15$ घटाएं.

$f' (- 1) = \frac{- 63 \cdot - 1}{{(- 16)}^{2}}$

चरण 7.2.2.2

$- 16$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = \frac{- 63 \cdot - 1}{256}$

चरण 7.2.3

$- 63$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = \frac{63}{256}$

चरण 7.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{63}{256}$ है.

$\frac{63}{256}$

चरण 7.3

$x = - 1$ पर व्युत्पन्न $\frac{63}{256}$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, 0)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, 0)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, 15)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{15}{2}$ से बदलें.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{3 {(\frac{15}{2})}^{3} ((\frac{15}{2}) - 20)}{{((\frac{15}{2}) - 15)}^{2}}$

चरण 8.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{15}{2}$ पर लागू करें.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{3 (\frac{15^{3}}{2^{3}}) \cdot (\frac{15}{2} - 20)}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 8.2.1.2

$3$ और $\frac{15^{3}}{2^{3}}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{15}{2} - 20)}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 8.2.1.3

$- 20$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{15}{2} - 20 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 8.2.1.4

$- 20$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{15}{2} + \frac{- 20 \cdot 2}{2})}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 8.2.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{15 - 20 \cdot 2}{2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 8.2.1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.6.1

$- 20$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{15 - 40}{2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 8.2.1.6.2

$15$ में से $40$ घटाएं.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{- 25}{2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 8.2.1.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (- 1 (\frac{25}{2}))}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 8.2.1.8

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.8.1

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- (\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{25}{2})}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 8.2.1.8.2

$\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}}$ को $\frac{25}{2}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3 \cdot 15^{3} \cdot 25}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 8.2.1.8.3

$25$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 8.2.1.8.4

घातांक जोड़कर $2^{3}$ को $2$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.8.4.1

$2^{3}$ को $2$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.1.8.4.1.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 8.2.1.8.4.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{3 + 1}}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 8.2.1.8.4.2

$3$ और $1$ जोड़ें.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{4}}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 8.2.1.9

$15$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 3375}{2^{4}}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 8.2.1.10

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 3375}{16}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 8.2.1.11

$75$ को $3375$ से गुणा करें.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 8.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.1

$- 15$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15}{2} - 15 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

चरण 8.2.2.2

$- 15$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15}{2} + \frac{- 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

चरण 8.2.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15 - 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

चरण 8.2.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.2.4.1

$- 15$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15 - 30}{2})}^{2}}$

चरण 8.2.2.4.2

$15$ में से $30$ घटाएं.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{- 15}{2})}^{2}}$

चरण 8.2.2.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(- \frac{15}{2})}^{2}}$

चरण 8.2.2.6

उत्पाद नियम को $- \frac{15}{2}$ पर लागू करें.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{15}{2})}^{2}}$

चरण 8.2.2.7

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 {(\frac{15}{2})}^{2}}$

चरण 8.2.2.8

उत्पाद नियम को $\frac{15}{2}$ पर लागू करें.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 (\frac{15^{2}}{2^{2}})}$

चरण 8.2.2.9

$15$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 (\frac{225}{2^{2}})}$

चरण 8.2.2.10

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 (\frac{225}{4})}$

चरण 8.2.2.11

$\frac{225}{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{\frac{225}{4}}$

चरण 8.2.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f' (\frac{15}{2}) = - \frac{253125}{16} \cdot \frac{4}{225}$

चरण 8.2.4

$225$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.4.1

$- \frac{253125}{16}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 253125}{16} \cdot \frac{4}{225}$

चरण 8.2.4.2

$- 253125$ में से $225$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{225 (- 1125)}{16} \cdot \frac{4}{225}$

चरण 8.2.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{225 \cdot - 1125}{16} \cdot \frac{4}{225}$

चरण 8.2.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{16} \cdot 4$

चरण 8.2.5

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.2.5.1

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{4 (4)} \cdot 4$

चरण 8.2.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{4 \cdot 4} \cdot 4$

चरण 8.2.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{4}$

चरण 8.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (\frac{15}{2}) = - \frac{1125}{4}$

चरण 8.2.7

अंतिम उत्तर $- \frac{1125}{4}$ है.

$- \frac{1125}{4}$

चरण 8.3

$x = \frac{15}{2}$ पर व्युत्पन्न $- \frac{1125}{4}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(0, 15)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(0, 15)$ पर घटता हुआ

चरण 9

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(15, 20)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{35}{2}$ से बदलें.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{3 {(\frac{35}{2})}^{3} ((\frac{35}{2}) - 20)}{{((\frac{35}{2}) - 15)}^{2}}$

चरण 9.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{35}{2}$ पर लागू करें.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{3 (\frac{35^{3}}{2^{3}}) \cdot (\frac{35}{2} - 20)}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 9.2.1.2

$3$ और $\frac{35^{3}}{2^{3}}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{35}{2} - 20)}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 9.2.1.3

$- 20$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{35}{2} - 20 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 9.2.1.4

$- 20$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{35}{2} + \frac{- 20 \cdot 2}{2})}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 9.2.1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{35 - 20 \cdot 2}{2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 9.2.1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.6.1

$- 20$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{35 - 40}{2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 9.2.1.6.2

$35$ में से $40$ घटाएं.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{- 5}{2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 9.2.1.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (- 1 (\frac{5}{2}))}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 9.2.1.8

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.8.1

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- (\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{5}{2})}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 9.2.1.8.2

$\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}}$ को $\frac{5}{2}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{3 \cdot 35^{3} \cdot 5}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 9.2.1.8.3

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 9.2.1.8.4

घातांक जोड़कर $2^{3}$ को $2$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.8.4.1

$2^{3}$ को $2$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.8.4.1.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 9.2.1.8.4.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{3 + 1}}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 9.2.1.8.4.2

$3$ और $1$ जोड़ें.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{4}}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 9.2.1.9

$35$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 42875}{2^{4}}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 9.2.1.10

$2$ को $4$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 42875}{16}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 9.2.1.11

$15$ को $42875$ से गुणा करें.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

चरण 9.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.1

$- 15$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35}{2} - 15 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

चरण 9.2.2.2

$- 15$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35}{2} + \frac{- 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

चरण 9.2.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35 - 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

चरण 9.2.2.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.2.4.1

$- 15$ को $2$ से गुणा करें.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35 - 30}{2})}^{2}}$

चरण 9.2.2.4.2

$35$ में से $30$ घटाएं.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

चरण 9.2.2.5

उत्पाद नियम को $\frac{5}{2}$ पर लागू करें.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{\frac{5^{2}}{2^{2}}}$

चरण 9.2.2.6

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{\frac{25}{2^{2}}}$

चरण 9.2.2.7

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{\frac{25}{4}}$

चरण 9.2.3

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f' (\frac{35}{2}) = - \frac{643125}{16} \cdot \frac{4}{25}$

चरण 9.2.4

$25$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.4.1

$- \frac{643125}{16}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 643125}{16} \cdot \frac{4}{25}$

चरण 9.2.4.2

$- 643125$ में से $25$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{25 (- 25725)}{16} \cdot \frac{4}{25}$

चरण 9.2.4.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{25 \cdot - 25725}{16} \cdot \frac{4}{25}$

चरण 9.2.4.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{16} \cdot 4$

चरण 9.2.5

$4$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.5.1

$16$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{4 (4)} \cdot 4$

चरण 9.2.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{4 \cdot 4} \cdot 4$

चरण 9.2.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{4}$

चरण 9.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (\frac{35}{2}) = - \frac{25725}{4}$

चरण 9.2.7

अंतिम उत्तर $- \frac{25725}{4}$ है.

$- \frac{25725}{4}$

चरण 9.3

$x = \frac{35}{2}$ पर व्युत्पन्न $- \frac{25725}{4}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(15, 20)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(15, 20)$ पर घटता हुआ

चरण 10

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(20, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

व्यंजक में चर $x$ को $21$ से बदलें.

$f' (21) = \frac{3 {(21)}^{3} ((21) - 20)}{{((21) - 15)}^{2}}$

चरण 10.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.1.1

$21$ में से $20$ घटाएं.

$f' (21) = \frac{3 \cdot 21^{3} \cdot 1}{{(21 - 15)}^{2}}$

चरण 10.2.1.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (21) = \frac{3 \cdot 21^{3}}{{(21 - 15)}^{2}}$

चरण 10.2.1.3

$21$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (21) = \frac{3 \cdot 9261}{{(21 - 15)}^{2}}$

चरण 10.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.2.1

$21$ में से $15$ घटाएं.

$f' (21) = \frac{3 \cdot 9261}{6^{2}}$

चरण 10.2.2.2

$6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (21) = \frac{3 \cdot 9261}{36}$

चरण 10.2.3

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.1

$3$ को $9261$ से गुणा करें.

$f' (21) = \frac{27783}{36}$

चरण 10.2.3.2

$27783$ और $36$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.2.1

$27783$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$f' (21) = \frac{9 (3087)}{36}$

चरण 10.2.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.2.3.2.2.1

$36$ में से $9$ का गुणनखंड करें.

$f' (21) = \frac{9 \cdot 3087}{9 \cdot 4}$

चरण 10.2.3.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f' (21) = \frac{9 \cdot 3087}{9 \cdot 4}$

चरण 10.2.3.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (21) = \frac{3087}{4}$

चरण 10.2.4

अंतिम उत्तर $\frac{3087}{4}$ है.

$\frac{3087}{4}$

चरण 10.3

$x = 21$ पर व्युत्पन्न $\frac{3087}{4}$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(20, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(20, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 11

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, 0), (20, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(0, 15), (15, 20)$

चरण 12