कैलकुलस उदाहरण

$y = \tan^{-1} (\sqrt{4 t})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \tan^{-1} (t)$ और $g (t) = \sqrt{4 t}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\sqrt{4 t}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\tan^{-1} (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + u^{2}}$ है.

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\sqrt{4 t}$ से बदलें.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$

चरण 2

$\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t}]$ को $\frac{d}{d t} [2 \sqrt{t}]$ के रूप में फिर से लिखें.

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चरण 2.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{2^{2} t}]$

चरण 2.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [2 \sqrt{t}]$

चरण 3

$\sqrt{t}$ को $t^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [2 t^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ है.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

चरण 5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

चरण 6

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

चरण 7

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

चरण 8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

चरण 9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 9.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

चरण 9.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

चरण 10

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

चरण 11

$\frac{1}{2}$ और $t^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} (2 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

चरण 12

$2$ और $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{2 t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 13

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $t^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 14

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 15

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 16

सरल करें.

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चरण 16.1

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.1

$\frac{1}{1 + {\sqrt{4 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{1 + {(2 \sqrt{t})}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.1.1

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{1 + {\sqrt{2^{2} t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 16.1.1.2

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$\frac{1}{1 + {(2 \sqrt{t})}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 16.1.2

$2 \sqrt{t}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{1 + {(2 (\sqrt{t}))}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 16.1.3

उत्पाद नियम को $2 (\sqrt{t})$ पर लागू करें.

$\frac{1}{1 + 2^{2} {\sqrt{t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 16.1.4

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{1 + 4 {\sqrt{t}}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 16.1.5

${\sqrt{t}}^{2}$ को $t$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.5.1

$\sqrt{t}$ को $t^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{1 + 4 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 16.1.5.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 16.1.5.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 16.1.5.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 16.1.5.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{1 + 4 t^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 16.1.5.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{1 + 4 t^{1}} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 16.1.5.5

सरल करें.

$\frac{1}{1 + 4 t} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 16.1.6

$\frac{1}{1 + 4 t}$ को $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{(1 + 4 t) t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 16.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{t^{\frac{1}{2}} (1 + 4 t)}$