कैलकुलस उदाहरण

$t^{3} \log_{2} (e^{t})$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = t^{3}$ और $g (t) = \log_{2} (e^{t})$ है.

$t^{3} \frac{d}{d t} [\log_{2} (e^{t})] + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \log_{2} (t)$ और $g (t) = e^{t}$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $e^{t}$ के रूप में सेट करें.

$t^{3} (\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d t} [e^{t}]) + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

चरण 2.2

$u$ के संबंध में $\log_{2} (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u \ln (2)}$ है.

$t^{3} (\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d t} [e^{t}]) + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

चरण 2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $e^{t}$ से बदलें.

$t^{3} (\frac{1}{e^{t} \ln (2)} \frac{d}{d t} [e^{t}]) + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

चरण 3

$\frac{1}{e^{t} \ln (2)}$ और $t^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{t^{3}}{e^{t} \ln (2)} \frac{d}{d t} [e^{t}] + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

चरण 4

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ $a^{t} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{t^{3}}{e^{t} \ln (2)} e^{t} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

चरण 5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

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चरण 5.1

$\frac{t^{3}}{e^{t} \ln (2)}$ और $e^{t}$ को मिलाएं.

$\frac{t^{3} e^{t}}{e^{t} \ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

चरण 5.2

$e^{t}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 5.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{t^{3} e^{t}}{e^{t} \ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

चरण 5.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{t^{3}}{\ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

चरण 5.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{t^{3}}{\ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) (3 t^{2})$

चरण 5.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{t^{3}}{\ln (2)} + 3 t^{2} \log_{2} (e^{t})$