कैलकुलस उदाहरण

$y = e^{2 x}$ , $y = e^{5 x}$ , $x = 1$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$e^{2 x} = e^{5 x}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $e^{2 x} = e^{5 x}$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि आधार समान हैं, तो दो व्यंजक केवल तभी बराबर होते हैं जब घातांक भी बराबर हों.

$2 x = 5 x$

चरण 1.2.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $5 x$ घटाएं.

$2 x - 5 x = 0$

चरण 1.2.2.1.2

$2 x$ में से $5 x$ घटाएं.

$- 3 x = 0$

चरण 1.2.2.2

$- 3 x = 0$ के प्रत्येक पद को $- 3$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.1

$- 3 x = 0$ के प्रत्येक पद को $- 3$ से विभाजित करें.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

चरण 1.2.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.2.1

$- 3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

चरण 1.2.2.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{- 3}$

चरण 1.2.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.2.3.1

$0$ को $- 3$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 1.3

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 0$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = e^{5 (0)}$

चरण 1.3.2

$e^{5 (0)}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$5$ को $0$ से गुणा करें.

$y = e^{0}$

चरण 1.3.2.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$y = 1$

चरण 1.4

सिस्टम का हल क्रमित युग्म का पूरा सेट है जो मान्य हल हैं.

$(0, 1)$

चरण 2

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{0}^{1} e^{5 x} d x - \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

चरण 3

$0$ और $1$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{0}^{1} e^{5 x} - (e^{2 x}) d x$

चरण 3.2

$- 1$ को $e^{2 x}$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{1} e^{5 x} - e^{2 x} d x$

चरण 3.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{1} e^{5 x} d x + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

चरण 3.4

मान लीजिए $u_{1} = 5 x$ .फिर $d u_{1} = 5 d x$ , तो $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

मान लें $u_{1} = 5 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1.1

$5 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [5 x]$

चरण 3.4.1.2

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$5 \cdot 1$

चरण 3.4.1.4

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$5$

चरण 3.4.2

$x$ के लिए $u_{1} = 5 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

चरण 3.4.3

$5$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 3.4.4

$x$ के लिए $u_{1} = 5 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

चरण 3.4.5

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 5$

चरण 3.4.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

चरण 3.4.7

$u_{1}$ , $d u_{1}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{0}^{5} e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

चरण 3.5

$e^{u_{1}}$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$\int_{0}^{5} \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

चरण 3.6

चूँकि $\frac{1}{5}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{5}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

चरण 3.7

$u_{1}$ के संबंध में $e^{u_{1}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{1}}$ है.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} + \int_{0}^{1} - e^{2 x} d x$

चरण 3.8

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{1} e^{2 x} d x$

चरण 3.9

मान लीजिए $u_{2} = 2 x$ .फिर $d u_{2} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1

मान लें $u_{2} = 2 x$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 3.9.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.9.1.3

$2 \cdot 1$

चरण 3.9.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 3.9.2

$x$ के लिए $u_{2} = 2 x$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

चरण 3.9.3

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$u_{lower} = 0$

चरण 3.9.4

$x$ के लिए $u_{2} = 2 x$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

चरण 3.9.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 2$

चरण 3.9.6

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

चरण 3.9.7

$u_{2}$ , $d u_{2}$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{2} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 3.10

$e^{u_{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \int_{0}^{2} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

चरण 3.11

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{u_{2}} d u_{2})$

चरण 3.12

$u_{2}$ के संबंध में $e^{u_{2}}$ का इंटीग्रल $e^{u_{2}}$ है.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}}]_{0}^{5} - \frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{2}$

चरण 3.13

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.13.1

$5$ पर और $0$ पर $e^{u_{1}}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{5} ((e^{5}) - e^{0}) - \frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{2}$

चरण 3.13.2

$2$ पर और $0$ पर $e^{u_{2}}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{5} ((e^{5}) - e^{0}) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

चरण 3.13.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.13.3.1

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1 \cdot 1) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

चरण 3.13.3.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0})$

चरण 3.13.3.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} (e^{2} - 1 \cdot 1)$

चरण 3.13.3.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{5} (e^{5} - 1) - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

चरण 3.14

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.14.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.14.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{5} e^{5} + \frac{1}{5} \cdot - 1 - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

चरण 3.14.1.2

$\frac{1}{5}$ और $e^{5}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{5}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 1 - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

चरण 3.14.1.3

$\frac{1}{5}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{e^{5}}{5} + \frac{- 1}{5} - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

चरण 3.14.1.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} (e^{2} - 1)$

चरण 3.14.1.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{2} e^{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

चरण 3.14.1.6

$e^{2}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

चरण 3.14.1.7

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.14.1.7.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

चरण 3.14.1.7.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{1}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 3.14.2

$- \frac{1}{5}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

चरण 3.14.3

$\frac{1}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

चरण 3.14.4

प्रत्येक व्यंजक को $10$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.14.4.1

$\frac{1}{5}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{5 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

चरण 3.14.4.2

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{5}$

चरण 3.14.4.3

$\frac{1}{2}$ को $\frac{5}{5}$ से गुणा करें.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{5}{2 \cdot 5}$

चरण 3.14.4.4

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} - \frac{2}{10} + \frac{5}{10}$

चरण 3.14.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{- 2 + 5}{10}$

चरण 3.14.6

$- 2$ और $5$ जोड़ें.

$\frac{e^{5}}{5} - \frac{e^{2}}{2} + \frac{3}{10}$

चरण 4