कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{4}{9} x^{2}$ , $y = \frac{13}{9} - x^{2}$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

$\frac{4}{9} x^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1.1

फिर से लिखें.

$0 + 0 + \frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

चरण 1.2.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$\frac{4}{9} x^{2} = \frac{13}{9} - x^{2}$

चरण 1.2.1.3

$\frac{4}{9}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$\frac{4 x^{2}}{9} = \frac{13}{9} - x^{2}$

चरण 1.2.2

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{4 x^{2}}{9} + x^{2} = \frac{13}{9}$

चरण 1.2.2.2

$x^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{9}{9}$ से गुणा करें.

$\frac{4 x^{2}}{9} + x^{2} \cdot \frac{9}{9} = \frac{13}{9}$

चरण 1.2.2.3

$x^{2}$ और $\frac{9}{9}$ को मिलाएं.

$\frac{4 x^{2}}{9} + \frac{x^{2} \cdot 9}{9} = \frac{13}{9}$

चरण 1.2.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} \cdot 9}{9} = \frac{13}{9}$

चरण 1.2.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.5.1

$9$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{4 x^{2} + 9 \cdot x^{2}}{9} = \frac{13}{9}$

चरण 1.2.2.5.2

$4 x^{2}$ और $9 x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{13 x^{2}}{9} = \frac{13}{9}$

चरण 1.2.3

चूंकि समीकरण के प्रत्येक पक्ष के व्यंजक का हर समान होता है, इसलिए भाजक बराबर होने चाहिए.

$13 x^{2} = 13$

चरण 1.2.4

$13 x^{2} = 13$ के प्रत्येक पद को $13$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

$13 x^{2} = 13$ के प्रत्येक पद को $13$ से विभाजित करें.

$\frac{13 x^{2}}{13} = \frac{13}{13}$

चरण 1.2.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1

$13$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{13 x^{2}}{13} = \frac{13}{13}$

चरण 1.2.4.2.1.2

$x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$x^{2} = \frac{13}{13}$

चरण 1.2.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.3.1

$13$ को $13$ से विभाजित करें.

$x^{2} = 1$

चरण 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

चरण 1.2.6

$1$ का कोई भी मूल $1$ होता है.

$x = \pm 1$

चरण 1.2.7

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1

सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए $\pm$ के धनात्मक मान का उपयोग करें.

$x = 1$

चरण 1.2.7.2

इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए $\pm$ के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.

$x = - 1$

चरण 1.2.7.3

पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.

$x = 1, - 1$

चरण 1.3

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 1$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = \frac{13}{9} - {(1)}^{2}$

चरण 1.3.2

$1$ को $x$ के लिए $y = \frac{13}{9} - {(1)}^{2}$ में प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = \frac{13}{9} - 1^{2}$

चरण 1.3.2.2

$\frac{13}{9} - 1^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$y = \frac{13}{9} - 1 \cdot 1$

चरण 1.3.2.2.1.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$y = \frac{13}{9} - 1$

चरण 1.3.2.2.2

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{9}{9}$ से गुणा करें.

$y = \frac{13}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

चरण 1.3.2.2.3

$- 1$ और $\frac{9}{9}$ को मिलाएं.

$y = \frac{13}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

चरण 1.3.2.2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{13 - 1 \cdot 9}{9}$

चरण 1.3.2.2.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.2.5.1

$- 1$ को $9$ से गुणा करें.

$y = \frac{13 - 9}{9}$

चरण 1.3.2.2.5.2

$13$ में से $9$ घटाएं.

$y = \frac{4}{9}$

चरण 1.4

सिस्टम का हल क्रमित युग्म का पूरा सेट है जो मान्य हल हैं.

$(1, \frac{4}{9})$

$(- 1, \frac{4}{9})$

$(1, \frac{4}{9})$

$(- 1, \frac{4}{9})$

चरण 2

$\frac{4}{9}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$y = \frac{4 x^{2}}{9}$

चरण 3

$\frac{13}{9}$ और $- x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = - x^{2} + \frac{13}{9}$

चरण 4

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} - x^{2} + \frac{13}{9} d x - \int_{- 1}^{1} \frac{4 x^{2}}{9} d x$

चरण 5

$- 1$ और $1$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} + \frac{13}{9} - (\frac{4 x^{2}}{9}) d x$

चरण 5.2

$- x^{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{9}{9}$ से गुणा करें.

$\int_{- 1}^{1} - x^{2} \cdot \frac{9}{9} - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9} d x$

चरण 5.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$- x^{2}$ और $\frac{9}{9}$ को मिलाएं.

$\frac{- x^{2} \cdot 9}{9} - \frac{4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9}$

चरण 5.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- x^{2} \cdot 9 - 4 x^{2}}{9} + \frac{13}{9}$

चरण 5.3.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- x^{2} \cdot 9 - 4 x^{2} + 13}{9}$

चरण 5.3.4

$9$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 9 x^{2} - 4 x^{2} + 13}{9}$

चरण 5.3.5

$- 9 x^{2}$ में से $4 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{- 13 x^{2} + 13}{9}$

$\int_{- 1}^{1} \frac{- 13 x^{2} + 13}{9} d x$

चरण 5.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$- 13 x^{2} + 13$ में से $13$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1

$- 13 x^{2}$ में से $13$ का गुणनखंड करें.

$\frac{13 (- x^{2}) + 13}{9}$

चरण 5.4.1.2

$13$ में से $13$ का गुणनखंड करें.

$\frac{13 (- x^{2}) + 13 (1)}{9}$

चरण 5.4.1.3

$13 (- x^{2}) + 13 (1)$ में से $13$ का गुणनखंड करें.

$\frac{13 (- x^{2} + 1)}{9}$

चरण 5.4.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{13 (- x^{2} + 1^{2})}{9}$

चरण 5.4.3

$- x^{2}$ और $1^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{13 (1^{2} - x^{2})}{9}$

चरण 5.4.4

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1$ और $b = x$ .

$\frac{13 (1 + x) (1 - x)}{9}$

$\int_{- 1}^{1} \frac{13 (1 + x) (1 - x)}{9} d x$

चरण 5.5

चूँकि $\frac{13}{9}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{13}{9}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} (1 + x) (1 - x) d x$

चरण 5.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 (1 - x) + x (1 - x) d x$

चरण 5.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) d x$

चरण 5.6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) d x$

चरण 5.6.4

$x$ और $1$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x) d x$

चरण 5.6.5

$x$ और $- 1$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x d x$

चरण 5.6.6

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x d x$

चरण 5.6.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + 1 x - 1 x \cdot x d x$

चरण 5.6.8

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - 1 x \cdot x d x$

चरण 5.6.9

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x \cdot x) d x$

चरण 5.6.10

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x^{1} x) d x$

चरण 5.6.11

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - (x^{1} x^{1}) d x$

चरण 5.6.12

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - x^{1 + 1} d x$

चरण 5.6.13

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x + x - x^{2} d x$

चरण 5.6.14

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 + 0 - x^{2} d x$

चरण 5.6.15

$0$ में से $x^{2}$ घटाएं.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} 1 - x^{2} d x$

चरण 5.6.16

$1$ और $- x^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{13}{9} \int_{- 1}^{1} - x^{2} + 1 d x$

चरण 5.7

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{13}{9} (\int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

चरण 5.8

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{13}{9} (- \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

चरण 5.9

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} x^{3}$ है.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

चरण 5.10

$\frac{1}{3}$ और $x^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{13}{9} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

चरण 5.11

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{13}{9} (- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

चरण 5.12

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.12.1

$1$ पर और $- 1$ पर $\frac{x^{3}}{3}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{13}{9} (- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + x]_{- 1}^{1})$

चरण 5.12.2

$1$ पर और $- 1$ पर $x$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

चरण 5.12.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.12.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 1 + 1)$

चरण 5.12.3.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 1 + 1)$

चरण 5.12.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

चरण 5.12.3.4

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 1 + 1)$

चरण 5.12.3.5

$\frac{1}{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{13}{9} (- (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 1 + 1)$

चरण 5.12.3.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{13}{9} (- \frac{1 + 1}{3} + 1 + 1)$

चरण 5.12.3.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 1 + 1)$

चरण 5.12.3.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 2)$

चरण 5.12.3.9

$2$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3})$

चरण 5.12.3.10

$2$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{13}{9} (- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3})$

चरण 5.12.3.11

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{13}{9} \cdot \frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}$

चरण 5.12.3.12

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.12.3.12.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{13}{9} \cdot \frac{- 2 + 6}{3}$

चरण 5.12.3.12.2

$- 2$ और $6$ जोड़ें.

$\frac{13}{9} \cdot \frac{4}{3}$

चरण 5.12.3.13

$\frac{13}{9}$ को $\frac{4}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{13 \cdot 4}{9 \cdot 3}$

चरण 5.12.3.14

$13$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{52}{9 \cdot 3}$

चरण 5.12.3.15

$9$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{52}{27}$

चरण 6