कैलकुलस उदाहरण

$y = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

चरण 1

$y$ को $x$ के एक फलन के रूप में सेट करें.

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

चरण 2

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

चरण 2.2.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

चरण 2.2.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\cos (x)$ के रूप में सेट करें.

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 2.3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 2.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\cos (x)$ से बदलें.

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 2.3.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

चरण 2.3.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

चरण 2.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

चरण 3

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ में से $2 \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$- 2 \cos (x) \sin (x)$ में से $2 \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$2 \sin (x) (- \cos (x)) - 2 \sin (x) = 0$

चरण 3.1.2

$- 2 \sin (x)$ में से $2 \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

चरण 3.1.3

$2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ में से $2 \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$

चरण 3.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$\sin (x) = 0$

$- \cos (x) - 1 = 0$

चरण 3.3

$\sin (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$\sin (x)$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$\sin (x) = 0$

चरण 3.3.2

$x$ के लिए $\sin (x) = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$x = \arcsin (0)$

चरण 3.3.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

$\arcsin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$x = 0$

चरण 3.3.2.3

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = π - 0$

चरण 3.3.2.4

$π$ में से $0$ घटाएं.

$x = π$

चरण 3.3.2.5

$\sin (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.5.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.3.2.5.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 3.3.2.5.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 3.3.2.5.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 3.3.2.6

$\sin (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3.4

$- \cos (x) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$- \cos (x) - 1$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$- \cos (x) - 1 = 0$

चरण 3.4.2

$x$ के लिए $- \cos (x) - 1 = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $1$ जोड़ें.

$- \cos (x) = 1$

चरण 3.4.2.2

$- \cos (x) = 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.2.1

$- \cos (x) = 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

चरण 3.4.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

चरण 3.4.2.2.2.2

$\cos (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\cos (x) = \frac{1}{- 1}$

चरण 3.4.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.2.3.1

$1$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$\cos (x) = - 1$

चरण 3.4.2.3

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (- 1)$

चरण 3.4.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.4.1

$\arccos (- 1)$ का सटीक मान $π$ है.

$x = π$

चरण 3.4.2.5

दूसरे और तीसरे चतुर्थांश में कोज्या फलन ऋणात्मक होता है. दूसरा हल ज्ञात करने के लिए, तीसरे चतुर्थांश में हल ज्ञात करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - π$

चरण 3.4.2.6

$2 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = π$

चरण 3.4.2.7

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.7.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.4.2.7.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 3.4.2.7.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 3.4.2.7.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 3.4.2.8

$\cos (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3.6

उत्तरों को समेकित करें.

$x = π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 4

मूल फलन $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ को $x = π$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$f (π) = 2 \cos (π) + \cos^{2} (π)$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$f (π) = 2 (- \cos (0)) + \cos^{2} (π)$

चरण 4.2.1.2

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f (π) = 2 (- 1 \cdot 1) + \cos^{2} (π)$

चरण 4.2.1.3

$2 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (π) = 2 \cdot - 1 + \cos^{2} (π)$

चरण 4.2.1.3.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (π) = - 2 + \cos^{2} (π)$

चरण 4.2.1.4

$f (π) = - 2 + {(- \cos (0))}^{2}$

चरण 4.2.1.5

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$f (π) = - 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

चरण 4.2.1.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (π) = - 2 + {(- 1)}^{2}$

चरण 4.2.1.7

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (π) = - 2 + 1$

चरण 4.2.2

$- 2$ और $1$ जोड़ें.

$f (π) = - 1$

चरण 4.2.3

अंतिम उत्तर $- 1$ है.

$- 1$

चरण 5

फलन $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ पर क्षैतिज स्पर्शरेखा $y = x = π n, y = - 1$ है.

$y = x = π n, y = - 1$

चरण 6