कैलकुलस उदाहरण

$y = 4 x + 8 \cos (x)$

चरण 1

$y$ को $x$ के एक फलन के रूप में सेट करें.

$f (x) = 4 x + 8 \cos (x)$

चरण 2

व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x + 8 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$

चरण 2.2.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 + \frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [8 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $8$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $8 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$4 + 8 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 2.3.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$4 + 8 (- \sin (x))$

चरण 2.3.3

$- 1$ को $8$ से गुणा करें.

$4 - 8 \sin (x)$

चरण 3

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $4 - 8 \sin (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$- 8 \sin (x) = - 4$

चरण 3.2

$- 8 \sin (x) = - 4$ के प्रत्येक पद को $- 8$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$- 8 \sin (x) = - 4$ के प्रत्येक पद को $- 8$ से विभाजित करें.

$\frac{- 8 \sin (x)}{- 8} = \frac{- 4}{- 8}$

चरण 3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

$- 8$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 8 \sin (x)}{- 8} = \frac{- 4}{- 8}$

चरण 3.2.2.1.2

$\sin (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sin (x) = \frac{- 4}{- 8}$

चरण 3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

$- 4$ और $- 8$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1.1

$- 4$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$\sin (x) = \frac{- 4 (1)}{- 8}$

चरण 3.2.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1.2.1

$- 8$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$\sin (x) = \frac{- 4 \cdot 1}{- 4 \cdot 2}$

चरण 3.2.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\sin (x) = \frac{- 4 \cdot 1}{- 4 \cdot 2}$

चरण 3.2.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

चरण 3.3

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

चरण 3.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ का सटीक मान $\frac{π}{6}$ है.

$x = \frac{π}{6}$

चरण 3.5

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = π - \frac{π}{6}$

चरण 3.6

$π - \frac{π}{6}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{6}{6}$ से गुणा करें.

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 3.6.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.2.1

$π$ और $\frac{6}{6}$ को मिलाएं.

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

चरण 3.6.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

चरण 3.6.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.1

$6$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

चरण 3.6.3.2

$6 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{5 π}{6}$

चरण 3.7

$\sin (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.7.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 3.7.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 3.7.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 3.8

$\sin (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 4

मूल फलन $f (x) = 4 x + 8 \cos (x)$ को $x = \frac{π}{6}$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{6}$ से बदलें.

$f (\frac{π}{6}) = 4 (\frac{π}{6}) + 8 \cos (\frac{π}{6})$

चरण 4.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (2) (\frac{π}{6}) + 8 \cos (\frac{π}{6})$

चरण 4.2.1.1.2

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cdot (2 (\frac{π}{2 \cdot 3})) + 8 \cos (\frac{π}{6})$

चरण 4.2.1.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cdot (2 (\frac{π}{2 \cdot 3})) + 8 \cos (\frac{π}{6})$

चरण 4.2.1.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{π}{3}) + 8 \cos (\frac{π}{6})$

चरण 4.2.1.2

$2$ और $\frac{π}{3}$ को मिलाएं.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 π}{3} + 8 \cos (\frac{π}{6})$

चरण 4.2.1.3

$\cos (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 π}{3} + 8 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

चरण 4.2.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1.4.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 π}{3} + 2 (4) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

चरण 4.2.1.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 π}{3} + 2 \cdot (4 (\frac{\sqrt{3}}{2}))$

चरण 4.2.1.4.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 π}{3} + 4 \sqrt{3}$

चरण 4.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{2 π}{3} + 4 \sqrt{3}$ है.

$\frac{2 π}{3} + 4 \sqrt{3}$

चरण 5

मूल फलन $f (x) = 4 x + 8 \cos (x)$ को $x = \frac{5 π}{6}$ मान के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{5 π}{6}$ से बदलें.

$f (\frac{5 π}{6}) = 4 (\frac{5 π}{6}) + 8 \cos (\frac{5 π}{6})$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (2) (\frac{5 π}{6}) + 8 \cos (\frac{5 π}{6})$

चरण 5.2.1.1.2

$6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cdot (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3})) + 8 \cos (\frac{5 π}{6})$

चरण 5.2.1.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cdot (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3})) + 8 \cos (\frac{5 π}{6})$

चरण 5.2.1.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{5 π}{3}) + 8 \cos (\frac{5 π}{6})$

चरण 5.2.1.2

$2$ और $\frac{5 π}{3}$ को मिलाएं.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{2 (5 π)}{3} + 8 \cos (\frac{5 π}{6})$

चरण 5.2.1.3

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{10 π}{3} + 8 \cos (\frac{5 π}{6})$

चरण 5.2.1.4

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{10 π}{3} + 8 (- \cos (\frac{π}{6}))$

चरण 5.2.1.5

$\cos (\frac{π}{6})$ का सटीक मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{10 π}{3} + 8 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

चरण 5.2.1.6

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.6.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{10 π}{3} + 8 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

चरण 5.2.1.6.2

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{10 π}{3} + 2 (4) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

चरण 5.2.1.6.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{10 π}{3} + 2 \cdot (4 (\frac{- \sqrt{3}}{2}))$

चरण 5.2.1.6.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{10 π}{3} + 4 (- \sqrt{3})$

चरण 5.2.1.7

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{10 π}{3} - 4 \sqrt{3}$

चरण 5.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{10 π}{3} - 4 \sqrt{3}$ है.

$\frac{10 π}{3} - 4 \sqrt{3}$

चरण 6

फलन $f (x) = 4 x + 8 \cos (x)$ पर क्षैतिज स्पर्शरेखाएं $y = \frac{2 π}{3} + 4 \sqrt{3}, y = \frac{10 π}{3} - 4 \sqrt{3}$ हैं.

$y = \frac{2 π}{3} + 4 \sqrt{3}, y = \frac{10 π}{3} - 4 \sqrt{3}$

चरण 7