कैलकुलस उदाहरण

$4 x + 5 y^{2} - y = 3$

चरण 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $3$ घटाएं.

$4 x + 5 y^{2} - y - 3 = 0$

चरण 1.2

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 1.3

द्विघात सूत्र में $a = 5$ , $b = - 1$ और $c = 4 x - 3$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (4 x - 3))}}{2 \cdot 5}$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

चरण 1.4.1.2

$- 4$ को $5$ से गुणा करें.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

चरण 1.4.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 (4 x) - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

चरण 1.4.1.4

$4$ को $- 20$ से गुणा करें.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

चरण 1.4.1.5

$- 20$ को $- 3$ से गुणा करें.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x + 60}}{2 \cdot 5}$

चरण 1.4.1.6

$1$ और $60$ जोड़ें.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{2 \cdot 5}$

चरण 1.4.2

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

चरण 1.5

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

चरण 1.5.1.2

$- 4$ को $5$ से गुणा करें.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

चरण 1.5.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 (4 x) - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

चरण 1.5.1.4

$4$ को $- 20$ से गुणा करें.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

चरण 1.5.1.5

$- 20$ को $- 3$ से गुणा करें.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x + 60}}{2 \cdot 5}$

चरण 1.5.1.6

$1$ और $60$ जोड़ें.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{2 \cdot 5}$

चरण 1.5.2

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

चरण 1.5.3

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

चरण 1.6

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

चरण 1.6.1.2

$- 4$ को $5$ से गुणा करें.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 \cdot (4 x - 3)}}{2 \cdot 5}$

चरण 1.6.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 20 (4 x) - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

चरण 1.6.1.4

$4$ को $- 20$ से गुणा करें.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x - 20 \cdot - 3}}{2 \cdot 5}$

चरण 1.6.1.5

$- 20$ को $- 3$ से गुणा करें.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 80 x + 60}}{2 \cdot 5}$

चरण 1.6.1.6

$1$ और $60$ जोड़ें.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{2 \cdot 5}$

चरण 1.6.2

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

चरण 1.6.3

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

चरण 1.7

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

चरण 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10} \to f (x) = \frac{1 + \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

$y = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10} \to f (x) = \frac{1 - \sqrt{- 80 x + 61}}{10}$

चरण 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x + 5 y^{2} - y = 3$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (4 x + 5 y^{2} - y) = \frac{d}{d x} (3)$

चरण 3.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x + 5 y^{2} - y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.2.2.3

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$4 + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.2.3

$\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 y^{2}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ है.

$4 + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.2.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$4 + 5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.2.3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 + 5 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.2.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$4 + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 + 5 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.2.3.4

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$4 + 10 y y' + \frac{d}{d x} [- y]$

चरण 3.2.4

$\frac{d}{d x} [- y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.4.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [y]$ है.

$4 + 10 y y' - \frac{d}{d x} [y]$

चरण 3.2.4.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 + 10 y y' - y'$

चरण 3.2.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$10 y y' + 4 - y'$

चरण 3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 3.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$10 y y' + 4 - y' = 0$

चरण 3.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $4$ घटाएं.

$10 y y' - y' = - 4$

चरण 3.5.2

$10 y y' - y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$10 y y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (10 y) - y' = - 4$

चरण 3.5.2.2

$- y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (10 y) + y' \cdot - 1 = - 4$

चरण 3.5.2.3

$y' (10 y) + y' \cdot - 1$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (10 y - 1) = - 4$

चरण 3.5.3

$y' (10 y - 1) = - 4$ के प्रत्येक पद को $10 y - 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

$y' (10 y - 1) = - 4$ के प्रत्येक पद को $10 y - 1$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (10 y - 1)}{10 y - 1} = \frac{- 4}{10 y - 1}$

चरण 3.5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.2.1

$10 y - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (10 y - 1)}{10 y - 1} = \frac{- 4}{10 y - 1}$

चरण 3.5.3.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 4}{10 y - 1}$

चरण 3.5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{4}{10 y - 1}$

चरण 3.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4}{10 y - 1}$

चरण 4

व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- \frac{4}{10 y - 1} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$4 = 0$

चरण 4.2

$4 \neq 0$ के बाद से कोई हल नहीं है.

कोई हल नहीं

चरण 5

व्युत्पन्न को $0$ , $- \frac{4}{10 y - 1} = 0$ के बराबर सेट करके कोई हल नहीं मिला है, इसलिए कोई क्षैतिज स्पर्शरेखा रेखाएं नहीं हैं.

कोई क्षैतिज स्पर्शरेखा नहीं मिली

चरण 6