कैलकुलस उदाहरण

$y = 3 \sin (π x + y)$ , $(1, 0)$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 1$ और $y = 0$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \sin (π x + y))$

चरण 1.2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 1.3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 \sin (π x + y)$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [\sin (π x + y)]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [\sin (π x + y)]$

चरण 1.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = π x + y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $π x + y$ के रूप में सेट करें.

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x + y])$

चरण 1.3.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x + y])$

चरण 1.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $π x + y$ से बदलें.

$3 (\cos (π x + y) \frac{d}{d x} [π x + y])$

चरण 1.3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $π x + y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [y]$ है.

$3 \cos (π x + y) (\frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [y])$

चरण 1.3.3.2

चूंकि $π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $π x$ का व्युत्पन्न $π \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \cos (π x + y) (π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

चरण 1.3.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cos (π x + y) (π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

चरण 1.3.3.4

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$3 \cos (π x + y) (π + \frac{d}{d x} [y])$

चरण 1.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 \cos (π x + y) (π + y')$

चरण 1.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = 3 \cos (π x + y) (π + y')$

चरण 1.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

$3 \cos (π x + y) (π + y')$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' = 3 \cos (π x + y) π + 3 \cos (π x + y) y'$

चरण 1.5.1.1.2

गुणनखंडों को $3 \cos (π x + y) π + 3 \cos (π x + y) y'$ में पुन: क्रमित करें.

$y' = 3 π \cos (π x + y) + 3 y' \cos (π x + y)$

चरण 1.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $3 y' \cos (π x + y)$ घटाएं.

$y' - 3 y' \cos (π x + y) = 3 π \cos (π x + y)$

चरण 1.5.3

$y' - 3 y' \cos (π x + y)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

${y'}^{1}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot 1 - 3 y' \cos (π x + y) = 3 π \cos (π x + y)$

चरण 1.5.3.2

$- 3 y' \cos (π x + y)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot 1 + y' (- 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$

चरण 1.5.3.3

$y' \cdot 1 + y' (- 3 \cos (π x + y))$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$

चरण 1.5.4

$y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$ के प्रत्येक पद को $1 - 3 \cos (π x + y)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.1

$y' (1 - 3 \cos (π x + y)) = 3 π \cos (π x + y)$ के प्रत्येक पद को $1 - 3 \cos (π x + y)$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (1 - 3 \cos (π x + y))}{1 - 3 \cos (π x + y)} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

चरण 1.5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1

$1 - 3 \cos (π x + y)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (1 - 3 \cos (π x + y))}{1 - 3 \cos (π x + y)} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

चरण 1.5.4.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

चरण 1.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 π \cos (π x + y)}{1 - 3 \cos (π x + y)}$

चरण 1.7

$x = 1$ और $y = 0$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$\frac{3 π \cos (π (1) + y)}{1 - 3 \cos (π (1) + y)}$

चरण 1.7.2

व्यंजक में चर $y$ को $0$ से बदलें.

$\frac{3 π \cos (π (1) + 0)}{1 - 3 \cos (π (1) + 0)}$

चरण 1.7.3

कोष्ठक हटा दें.

$\frac{3 π \cos (π (1) + 0)}{1 - 3 \cos (π (1) + 0)}$

चरण 1.7.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.4.1

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 π \cos (π + 0)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

चरण 1.7.4.2

$π$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{3 π \cos (π)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

चरण 1.7.4.3

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें. व्यंजक को ऋणात्मक बनाएंं क्योंकि दूसरे चतुर्थांश में कोज्या ऋणात्मक है.

$\frac{3 π (- \cos (0))}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

चरण 1.7.4.4

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{3 π (- 1 \cdot 1)}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

चरण 1.7.4.5

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 π \cdot - 1}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

चरण 1.7.4.6

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π \cdot 1 + 0)}$

चरण 1.7.5

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.5.1

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π + 0)}$

चरण 1.7.5.2

$π$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cos (π)}$

चरण 1.7.5.3

$\frac{- 3 π}{1 - 3 (- \cos (0))}$

चरण 1.7.5.4

$\cos (0)$ का सटीक मान $1$ है.

$\frac{- 3 π}{1 - 3 (- 1 \cdot 1)}$

चरण 1.7.5.5

$- 3 (- 1 \cdot 1)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.5.5.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 3 π}{1 - 3 \cdot - 1}$

चरण 1.7.5.5.2

$- 3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 3 π}{1 + 3}$

चरण 1.7.5.6

$1$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{- 3 π}{4}$

चरण 1.7.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{3 π}{4}$

चरण 2

सामान्य रेखा स्पर्शरेखा के लंबवत होती है. सामान्य रेखा की ढलान को ज्ञात करने के लिए स्पर्शरेखा रेखा के ढलान का ऋणात्मक व्युत्क्रम लें.

$\frac{4}{3 π}$

चरण 3

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

ढलान $\frac{4}{3 π}$ और दिए गए बिंदु $(1, 0)$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (0) = \frac{4}{3 π} \cdot (x - (1))$

चरण 3.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y + 0 = \frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$y$ और $0$ जोड़ें.

$y = \frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$

चरण 3.3.2

$\frac{4}{3 π} \cdot (x - 1)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y = \frac{4}{3 π} x + \frac{4}{3 π} \cdot - 1$

चरण 3.3.2.2

$\frac{4}{3 π}$ और $x$ को मिलाएं.

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{4}{3 π} \cdot - 1$

चरण 3.3.2.3

$\frac{4}{3 π} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.3.1

$\frac{4}{3 π}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{4 \cdot - 1}{3 π}$

चरण 3.3.2.3.2

$4$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y = \frac{4 x}{3 π} + \frac{- 4}{3 π}$

चरण 3.3.2.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y = \frac{4 x}{3 π} - \frac{4}{3 π}$

चरण 3.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{4}{3 π} x - \frac{4}{3 π}$

चरण 4