कैलकुलस उदाहरण

$6 x y + π \sin (y) = 83 π$ , $(4, \frac{7 π}{2})$

चरण 1

स्पर्शरेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए पहला व्युत्पन्न ज्ञात करें और $x = 4$ और $y = \frac{7 π}{2}$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (6 x y + π \sin (y)) = \frac{d}{d x} (83 π)$

चरण 1.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $6 x y + π \sin (y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ है.

$\frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [6 x y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x y$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x y]$ है.

$6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

चरण 1.2.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y$ है.

$6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

चरण 1.2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

चरण 1.2.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

चरण 1.2.2.5

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [π \sin (y)]$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [π \sin (y)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

चूंकि $π$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $π \sin (y)$ का व्युत्पन्न $π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ है.

$6 (x y' + y) + π \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

चरण 1.2.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$6 (x y' + y) + π (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y])$

चरण 1.2.3.2.2

$u$ के संबंध में $\sin (u)$ का व्युत्पन्न $\cos (u)$ है.

$6 (x y' + y) + π (\cos (u) \frac{d}{d x} [y])$

चरण 1.2.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$6 (x y' + y) + π (\cos (y) \frac{d}{d x} [y])$

चरण 1.2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$6 (x y' + y) + π \cos (y) y'$

चरण 1.2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 (x y') + 6 y + π \cos (y) y'$

चरण 1.2.4.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$

चरण 1.3

चूंकि $x$ के संबंध में $83 π$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $83 π$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 1.4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y = 0$

चरण 1.5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

गुणनखंडों को $6 x y' + π \cos (y) y' + 6 y$ में पुन: क्रमित करें.

$6 x y' + π y' \cos (y) + 6 y = 0$

चरण 1.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $6 y$ घटाएं.

$6 x y' + π y' \cos (y) = - 6 y$

चरण 1.5.3

$6 x y' + π y' \cos (y)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

$6 x y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (6 x) + π y' \cos (y) = - 6 y$

चरण 1.5.3.2

$π y' \cos (y)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (6 x) + y' (π \cos (y)) = - 6 y$

चरण 1.5.3.3

$y' (6 x) + y' (π \cos (y))$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$

चरण 1.5.4

$y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ के प्रत्येक पद को $6 x + π \cos (y)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.1

$y' (6 x + π \cos (y)) = - 6 y$ के प्रत्येक पद को $6 x + π \cos (y)$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

चरण 1.5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1

$6 x + π \cos (y)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (6 x + π \cos (y))}{6 x + π \cos (y)} = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

चरण 1.5.4.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 6 y}{6 x + π \cos (y)}$

चरण 1.5.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.4.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

चरण 1.6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 y}{6 x + π \cos (y)}$

चरण 1.7

$x = 4$ और $y = \frac{7 π}{2}$ पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

व्यंजक में चर $x$ को $4$ से बदलें.

$- \frac{6 y}{6 (4) + π \cos (y)}$

चरण 1.7.2

व्यंजक में चर $y$ को $\frac{7 π}{2}$ से बदलें.

$- \frac{6 (\frac{7 π}{2})}{6 (4) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

चरण 1.7.3

$6$ और $\frac{7 π}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{6 (4) + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

चरण 1.7.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.4.1

$6$ को $4$ से गुणा करें.

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{7 π}{2})}$

चरण 1.7.4.2

$2 π$ का पूरा घुमाव घटाएं जब तक कि कोण $0$ से बड़ा या उसके बराबर और $2 π$ से कम न हो जाए.

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{3 π}{2})}$

चरण 1.7.4.3

पहले चतुर्थांश में तुल्य त्रिभुज मानों वाला कोण ज्ञात करके संदर्भ कोण लागू करें.

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cos (\frac{π}{2})}$

चरण 1.7.4.4

$\cos (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $0$ है.

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + π \cdot 0}$

चरण 1.7.4.5

$π$ को $0$ से गुणा करें.

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24 + 0}$

चरण 1.7.4.6

$24$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{\frac{6 (7 π)}{2}}{24}$

चरण 1.7.5

$6$ को $7$ से गुणा करें.

$- \frac{\frac{42 π}{2}}{24}$

चरण 1.7.6

सामान्य गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{42 π}{2}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.6.1.1

$42 π$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2}}{24}$

चरण 1.7.6.1.2

$2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 (1)}}{24}$

चरण 1.7.6.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{\frac{2 (21 π)}{2 \cdot 1}}{24}$

चरण 1.7.6.1.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{\frac{21 π}{1}}{24}$

चरण 1.7.6.2

$21 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$- \frac{21 π}{24}$

चरण 1.7.7

$21$ और $24$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.7.1

$21 π$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{3 (7 π)}{24}$

चरण 1.7.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.7.2.1

$24$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{3 (7 π)}{3 (8)}$

चरण 1.7.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{3 (7 π)}{3 \cdot 8}$

चरण 1.7.7.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{7 π}{8}$

चरण 2

सामान्य रेखा स्पर्शरेखा के लंबवत होती है. सामान्य रेखा की ढलान को ज्ञात करने के लिए स्पर्शरेखा रेखा के ढलान का ऋणात्मक व्युत्क्रम लें.

$\frac{8}{7 π}$

चरण 3

ढलान और बिंदु मानों को पॉइंट-स्लोप सूत्र में प्लग करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

ढलान $\frac{8}{7 π}$ और दिए गए बिंदु $(4, \frac{7 π}{2})$ का उपयोग $x_{1}$ और $y_{1}$ के स्थान पर पॉइंट-स्लोप फॉर्म $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ में प्रतिस्थापित करें, जो ढलान समीकरण $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ से लिया गया है.

$y - (\frac{7 π}{2}) = \frac{8}{7 π} \cdot (x - (4))$

चरण 3.2

समीकरण को सरल करें और इसे पॉइंट-स्लोप फॉर्म में रखें.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

चरण 3.3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$\frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

फिर से लिखें.

$y - \frac{7 π}{2} = 0 + 0 + \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

चरण 3.3.1.2

शून्य जोड़कर सरल करें.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} \cdot (x - 4)$

चरण 3.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8}{7 π} x + \frac{8}{7 π} \cdot - 4$

चरण 3.3.1.4

$\frac{8}{7 π}$ और $x$ को मिलाएं.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{8}{7 π} \cdot - 4$

चरण 3.3.1.5

$\frac{8}{7 π} \cdot - 4$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.5.1

$\frac{8}{7 π}$ और $- 4$ को मिलाएं.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{8 \cdot - 4}{7 π}$

चरण 3.3.1.5.2

$8$ को $- 4$ से गुणा करें.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 32}{7 π}$

चरण 3.3.1.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y - \frac{7 π}{2} = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π}$

चरण 3.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{7 π}{2}$ जोड़ें.

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} + \frac{7 π}{2}$

चरण 3.3.3

$y = m x + b$ रूप में लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$- \frac{32}{7 π}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 π}{2}$

चरण 3.3.3.2

$\frac{7 π}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{7 π}{7 π}$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32}{7 π} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

चरण 3.3.3.3

प्रत्येक व्यंजक को $14 π$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.3.1

$\frac{32}{7 π}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{7 π \cdot 2} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

चरण 3.3.3.3.2

$2$ को $7$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π}{2} \cdot \frac{7 π}{7 π}$

चरण 3.3.3.3.3

$\frac{7 π}{2}$ को $\frac{7 π}{7 π}$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π (7 π)}{2 (7 π)}$

चरण 3.3.3.3.4

$7$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 x}{7 π} - \frac{32 \cdot 2}{14 π} + \frac{7 π (7 π)}{14 π}$

चरण 3.3.3.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 32 \cdot 2 + 7 π (7 π)}{14 π}$

चरण 3.3.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.5.1

$- 32$ को $2$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 7 π \cdot 7 π}{14 π}$

चरण 3.3.3.5.2

$7$ को $7$ से गुणा करें.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π π}{14 π}$

चरण 3.3.3.5.3

$49 π π$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.5.3.1

$π$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 (π^{1} π)}{14 π}$

चरण 3.3.3.5.3.2

$π$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 (π^{1} π^{1})}{14 π}$

चरण 3.3.3.5.3.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π^{1 + 1}}{14 π}$

चरण 3.3.3.5.3.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + 49 π^{2}}{14 π}$

चरण 3.3.3.5.4

$- 64 + 49 π^{2}$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.5.4.1

$49 π^{2}$ को ${(7 π)}^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 64 + {(7 π)}^{2}}{14 π}$

चरण 3.3.3.5.4.2

$64$ को $8^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{- 8^{2} + {(7 π)}^{2}}{14 π}$

चरण 3.3.3.5.4.3

$- 8^{2}$ और ${(7 π)}^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{{(7 π)}^{2} - 8^{2}}{14 π}$

चरण 3.3.3.5.4.4

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 7 π$ और $b = 8$ .

$y = \frac{8 x}{7 π} + \frac{(7 π + 8) (7 π - 8)}{14 π}$

चरण 3.3.3.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y = \frac{8}{7 π} x + \frac{(7 π + 8) (7 π - 8)}{14 π}$

चरण 4