कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$

चरण 1

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

${(4 - 2 x)}^{2}$ को $(4 - 2 x) (4 - 2 x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} ((4 - 2 x) (4 - 2 x))]$

चरण 1.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(4 - 2 x) (4 - 2 x)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 (4 - 2 x) - 2 x (4 - 2 x))]$

चरण 1.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 \cdot 4 + 4 (- 2 x) - 2 x (4 - 2 x))]$

चरण 1.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (4 \cdot 4 + 4 (- 2 x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

चरण 1.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.1

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 + 4 (- 2 x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

चरण 1.1.3.1.2

$- 2$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 2 x \cdot 4 - 2 x (- 2 x))]$

चरण 1.1.3.1.3

$4$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 x (- 2 x))]$

चरण 1.1.3.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

चरण 1.1.3.1.5

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1.5.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

चरण 1.1.3.1.5.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

चरण 1.1.3.1.6

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 8 x - 8 x + 4 x^{2})]$

चरण 1.1.3.2

$- 8 x$ में से $8 x$ घटाएं.

$\frac{d}{d x} [x^{2} (16 - 16 x + 4 x^{2})]$

चरण 1.1.4

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = 16 - 16 x + 4 x^{2}$ है.

$x^{2} \frac{d}{d x} [16 - 16 x + 4 x^{2}] + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.5.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $16 - 16 x + 4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ है.

$x^{2} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.5.2

चूंकि $x$ के संबंध में $16$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $16$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.5.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ जोड़ें.

$x^{2} (\frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.5.4

चूंकि $- 16$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 16 x$ का व्युत्पन्न $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$x^{2} (- 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.5.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x^{2} (- 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.5.6

$- 16$ को $1$ से गुणा करें.

$x^{2} (- 16 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.5.7

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$x^{2} (- 16 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.5.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{2} (- 16 + 4 (2 x)) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.5.9

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$x^{2} (- 16 + 8 x) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 1.1.5.10

$x^{2} (- 16 + 8 x) + (16 - 16 x + 4 x^{2}) (2 x)$

चरण 1.1.5.11

$2$ को $16 - 16 x + 4 x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{2} (- 16 + 8 x) + 2 \cdot (16 - 16 x + 4 x^{2}) x$

चरण 1.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + 2 (16 - 16 x + 4 x^{2}) x$

चरण 1.1.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + (2 \cdot 16 + 2 (- 16 x) + 2 (4 x^{2})) x$

चरण 1.1.6.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{2} \cdot - 16 + x^{2} (8 x) + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

चरण 1.1.6.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.4.1

$- 16$ को $x^{2}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 16 \cdot x^{2} + x^{2} (8 x) + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

चरण 1.1.6.4.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.4.2.1

$x$ ले जाएं.

$- 16 x^{2} + x \cdot x^{2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

चरण 1.1.6.4.2.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.6.4.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 16 x^{2} + x^{1} x^{2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

चरण 1.1.6.4.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 16 x^{2} + x^{1 + 2} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

चरण 1.1.6.4.2.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$- 16 x^{2} + x^{3} \cdot 8 + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

चरण 1.1.6.4.3

$8$ को $x^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- 16 x^{2} + 8 \cdot x^{3} + 2 \cdot 16 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

चरण 1.1.6.4.4

$2$ को $16$ से गुणा करें.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x + 2 (- 16 x) x + 2 (4 x^{2}) x$

चरण 1.1.6.4.5

$- 16$ को $2$ से गुणा करें.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x \cdot x + 2 (4 x^{2}) x$

चरण 1.1.6.4.6

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 (x^{1} x) + 2 (4 x^{2}) x$

चरण 1.1.6.4.7

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 (x^{1} x^{1}) + 2 (4 x^{2}) x$

चरण 1.1.6.4.8

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{1 + 1} + 2 (4 x^{2}) x$

चरण 1.1.6.4.9

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 2 (4 x^{2}) x$

चरण 1.1.6.4.10

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{2} x$

चरण 1.1.6.4.11

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 (x^{1} x^{2})$

चरण 1.1.6.4.12

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{1 + 2}$

चरण 1.1.6.4.13

$1$ और $2$ जोड़ें.

$- 16 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x - 32 x^{2} + 8 x^{3}$

चरण 1.1.6.4.14

$- 16 x^{2}$ में से $32 x^{2}$ घटाएं.

$- 48 x^{2} + 8 x^{3} + 32 x + 8 x^{3}$

चरण 1.1.6.4.15

$8 x^{3}$ और $8 x^{3}$ जोड़ें.

$- 48 x^{2} + 16 x^{3} + 32 x$

चरण 1.1.6.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = 16 x^{3} - 48 x^{2} + 32 x$

चरण 1.2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $16 x^{3} - 48 x^{2} + 32 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$ है.

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

चरण 1.2.2

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

चूंकि $16$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $16 x^{3}$ का व्युत्पन्न $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

चरण 1.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

चरण 1.2.2.3

$3$ को $16$ से गुणा करें.

$48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

चरण 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

चूंकि $- 48$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 48 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$48 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x]$

चरण 1.2.3.2

$48 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x]$

चरण 1.2.3.3

$2$ को $- 48$ से गुणा करें.

$48 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [32 x]$

चरण 1.2.4

$\frac{d}{d x} [32 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

चूंकि $32$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $32 x$ का व्युत्पन्न $32 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$48 x^{2} - 96 x + 32 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 1.2.4.2

$48 x^{2} - 96 x + 32 \cdot 1$

चरण 1.2.4.3

$32$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 48 x^{2} - 96 x + 32$

चरण 1.3

$f (x)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $x$ , $48 x^{2} - 96 x + 32$ है.

$48 x^{2} - 96 x + 32$

चरण 2

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $48 x^{2} - 96 x + 32 = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

दूसरे व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$48 x^{2} - 96 x + 32 = 0$

चरण 2.2

$48 x^{2} - 96 x + 32$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$48 x^{2}$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$16 (3 x^{2}) - 96 x + 32 = 0$

चरण 2.2.2

$- 96 x$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x) + 32 = 0$

चरण 2.2.3

$32$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x) + 16 (2) = 0$

चरण 2.2.4

$16 (3 x^{2}) + 16 (- 6 x)$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$16 (3 x^{2} - 6 x) + 16 (2) = 0$

चरण 2.2.5

$16 (3 x^{2} - 6 x) + 16 (2)$ में से $16$ का गुणनखंड करें.

$16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$

चरण 2.3

$16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$ के प्रत्येक पद को $16$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$16 (3 x^{2} - 6 x + 2) = 0$ के प्रत्येक पद को $16$ से विभाजित करें.

$\frac{16 (3 x^{2} - 6 x + 2)}{16} = \frac{0}{16}$

चरण 2.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

$16$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{16 (3 x^{2} - 6 x + 2)}{16} = \frac{0}{16}$

चरण 2.3.2.1.2

$3 x^{2} - 6 x + 2$ को $1$ से विभाजित करें.

$3 x^{2} - 6 x + 2 = \frac{0}{16}$

चरण 2.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$0$ को $16$ से विभाजित करें.

$3 x^{2} - 6 x + 2 = 0$

चरण 2.4

हल पता करने के लिए द्विघात सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

चरण 2.5

द्विघात सूत्र में $a = 3$ , $b = - 6$ और $c = 2$ मानों को प्रतिस्थापित करें और $x$ के लिए हल करें.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 2)}}{2 \cdot 3}$

चरण 2.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1.1

$- 6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

चरण 2.6.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1.2.1

$- 4$ को $3$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

चरण 2.6.1.2.2

$- 12$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

चरण 2.6.1.3

$36$ में से $24$ घटाएं.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

चरण 2.6.1.4

$12$ को $2^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1.4.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

चरण 2.6.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

चरण 2.6.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

चरण 2.6.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

चरण 2.6.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ को सरल करें.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

चरण 2.7

$\pm$ के $+$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1.1

$- 6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

चरण 2.7.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1.2.1

$- 4$ को $3$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

चरण 2.7.1.2.2

$- 12$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

चरण 2.7.1.3

$36$ में से $24$ घटाएं.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

चरण 2.7.1.4

$12$ को $2^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1.4.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

चरण 2.7.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

चरण 2.7.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

चरण 2.7.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

चरण 2.7.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ को सरल करें.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

चरण 2.7.4

$\pm$ को $+$ में बदलें.

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$

चरण 2.8

$\pm$ के $-$ भाग को हल करने के लिए व्यंजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1.1

$- 6$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

चरण 2.8.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 2$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1.2.1

$- 4$ को $3$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

चरण 2.8.1.2.2

$- 12$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 3}$

चरण 2.8.1.3

$36$ में से $24$ घटाएं.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3}$

चरण 2.8.1.4

$12$ को $2^{2} \cdot 3$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1.4.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 3}$

चरण 2.8.1.4.2

$4$ को $2^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

चरण 2.8.1.5

करणी से पदों को बाहर निकालें.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

चरण 2.8.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$

चरण 2.8.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{6}$ को सरल करें.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

चरण 2.8.4

$\pm$ को $-$ में बदलें.

$x = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

चरण 2.9

अंतिम उत्तर दोनों हलों का संयोजन है.

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}, \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

चरण 3

उन बिंदुओं को पता करें जहां दूसरा व्युत्पन्न $0$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $1.57735026$ को $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

व्यंजक में चर $x$ को $1.57735026$ से बदलें.

$f (1.57735026) = {(1.57735026)}^{2} {(4 - 2 \cdot 1.57735026)}^{2}$

चरण 3.1.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$1.57735026$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (1.57735026) = 2.48803387 {(4 - 2 \cdot 1.57735026)}^{2}$

चरण 3.1.2.2

$- 2$ को $1.57735026$ से गुणा करें.

$f (1.57735026) = 2.48803387 {(4 - 3.15470053)}^{2}$

चरण 3.1.2.3

$4$ में से $3.15470053$ घटाएं.

$f (1.57735026) = 2.48803387 \cdot {0.84529946}^{2}$

चरण 3.1.2.4

$0.84529946$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (1.57735026) = 2.48803387 \cdot 0.71453117$

चरण 3.1.2.5

$2.48803387$ को $0.71453117$ से गुणा करें.

$f (1.57735026) = 1.77777777$

चरण 3.1.2.6

अंतिम उत्तर $1.77777777$ है.

$1.77777777$

चरण 3.2

$1.57735026$ को $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(1.57735026, 1.77777777)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(1.57735026, 1.77777777)$

चरण 3.3

$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $0.42264973$ को $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.42264973$ से बदलें.

$f (0.42264973) = {(0.42264973)}^{2} {(4 - 2 \cdot 0.42264973)}^{2}$

चरण 3.3.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$0.42264973$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (0.42264973) = 0.17863279 {(4 - 2 \cdot 0.42264973)}^{2}$

चरण 3.3.2.2

$- 2$ को $0.42264973$ से गुणा करें.

$f (0.42264973) = 0.17863279 {(4 - 0.84529946)}^{2}$

चरण 3.3.2.3

$4$ में से $0.84529946$ घटाएं.

$f (0.42264973) = 0.17863279 \cdot {3.15470053}^{2}$

चरण 3.3.2.4

$3.15470053$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (0.42264973) = 0.17863279 \cdot 9.95213548$

चरण 3.3.2.5

$0.17863279$ को $9.95213548$ से गुणा करें.

$f (0.42264973) = 1.77777777$

चरण 3.3.2.6

अंतिम उत्तर $1.77777777$ है.

$1.77777777$

चरण 3.4

$0.42264973$ को $f (x) = x^{2} {(4 - 2 x)}^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर पता किया जाने वाला बिंदु $(0.42264973, 1.77777777)$ है. यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु हो सकता है.

$(0.42264973, 1.77777777)$

चरण 3.5

ऐसे बिंदु निर्धारित करें जो विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(1.57735026, 1.77777777), (0.42264973, 1.77777777)$

चरण 4

$(- \infty, \infty)$ को उन बिंदुओं के आसपास के अंतराल में विभाजित करें जो संभावित रूप से विभक्ति बिंदु हो सकते हैं.

$(- \infty, 0.42264973) \cup (0.42264973, 1.57735026) \cup (1.57735026, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(- \infty, 0.42264973)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.32264973$ से बदलें.

$f'' (0.32264973) = 48 {(0.32264973)}^{2} - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

चरण 5.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

$0.32264973$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (0.32264973) = 48 \cdot 0.10410284 - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

चरण 5.2.1.2

$48$ को $0.10410284$ से गुणा करें.

$f'' (0.32264973) = 4.99693674 - 96 \cdot 0.32264973 + 32$

चरण 5.2.1.3

$- 96$ को $0.32264973$ से गुणा करें.

$f'' (0.32264973) = 4.99693674 - 30.97437415 + 32$

चरण 5.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$4.99693674$ में से $30.97437415$ घटाएं.

$f'' (0.32264973) = - 25.97743741 + 32$

चरण 5.2.2.2

$- 25.97743741$ और $32$ जोड़ें.

$f'' (0.32264973) = 6.02256258$

चरण 5.2.3

अंतिम उत्तर $6.02256258$ है.

$6.02256258$

चरण 5.3

$0.32264973$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $6.02256258$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(- \infty, 0.42264973)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, 0.42264973)$ पर बढ़ रहा है

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(0.42264973, 1.57735026)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f'' (1) = 48 {(1)}^{2} - 96 \cdot 1 + 32$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (1) = 48 \cdot 1 - 96 \cdot 1 + 32$

चरण 6.2.1.2

$48$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (1) = 48 - 96 \cdot 1 + 32$

चरण 6.2.1.3

$- 96$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (1) = 48 - 96 + 32$

चरण 6.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$48$ में से $96$ घटाएं.

$f'' (1) = - 48 + 32$

चरण 6.2.2.2

$- 48$ और $32$ जोड़ें.

$f'' (1) = - 16$

चरण 6.2.3

अंतिम उत्तर $- 16$ है.

$- 16$

चरण 6.3

$1$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $- 16$ है. चूँकि यह ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल $(0.42264973, 1.57735026)$ पर दूसरा व्युत्पन्न घट रहा है

$f'' (x) < 0$ से $(0.42264973, 1.57735026)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि यह बढ़ता या घटता है, अंतराल $(1.57735026, \infty)$ से एक मान को दूसरे व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $1.67735026$ से बदलें.

$f'' (1.67735026) = 48 {(1.67735026)}^{2} - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$1.67735026$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f'' (1.67735026) = 48 \cdot 2.81350392 - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

चरण 7.2.1.2

$48$ को $2.81350392$ से गुणा करें.

$f'' (1.67735026) = 135.04818842 - 96 \cdot 1.67735026 + 32$

चरण 7.2.1.3

$- 96$ को $1.67735026$ से गुणा करें.

$f'' (1.67735026) = 135.04818842 - 161.02562584 + 32$

चरण 7.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$135.04818842$ में से $161.02562584$ घटाएं.

$f'' (1.67735026) = - 25.97743741 + 32$

चरण 7.2.2.2

$- 25.97743741$ और $32$ जोड़ें.

$f'' (1.67735026) = 6.02256258$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $6.02256258$ है.

$6.02256258$

चरण 7.3

$1.67735026$ पर, दूसरा व्युत्पन्न $6.02256258$ है. चूंकि यह धनात्मक है, इसलिए दूसरा अवकलज अंतराल $(1.57735026, \infty)$ पर बढ़ रहा है.

$f'' (x) > 0$ के बाद से $(1.57735026, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

एक विभक्ति बिंदु एक वक्र पर एक बिंदु है, जिस पर अवतलता संकेत को प्लस से माइनस या माइनस से प्लस में बदल देती है. इस मामले में विभक्ति बिंदु $(0.42264973, 1.77777777), (1.57735026, 1.77777777)$ हैं.

$(0.42264973, 1.77777777), (1.57735026, 1.77777777)$

चरण 9