कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = e^{\sin (x)} \cos (x)$ , $[0, \frac{π}{2}]$

चरण 1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

मध्यवर्ती संकेतन:

$(- \infty, \infty)$

सेट-बिल्डर संकेतन:

${x | x \in ℝ}$

चरण 2

$f (x)$ $[0, \frac{π}{2}]$ पर निरंतर है.

$f (x)$ निरंतर है

चरण 3

अंतराल $[a, b]$ पर फलन $f$ का औसत मान $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ के रूप में परिभाषित किया गया है.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

चरण 4

किसी फलन के औसत मान के लिए वास्तविक मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin (x)} \cos (x) d x)$

चरण 5

मान लीजिए $u = \sin (x)$ .फिर $d u = \cos (x) d x$ , तो $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = \sin (x)$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$\sin (x)$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 5.1.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\cos (x)$

चरण 5.2

$x$ के लिए $u = \sin (x)$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = \sin (0)$

चरण 5.3

$\sin (0)$ का सटीक मान $0$ है.

$u_{lower} = 0$

चरण 5.4

$x$ के लिए $u = \sin (x)$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

चरण 5.5

$\sin (\frac{π}{2})$ का सटीक मान $1$ है.

$u_{upper} = 1$

चरण 5.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

चरण 5.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{1} e^{u} d u)$

चरण 6

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e^{u}]_{0}^{1})$

चरण 7

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$1$ पर और $0$ पर $e^{u}$ का मान ज्ञात करें.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} ((e) - e^{0})$

चरण 7.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

सरल करें.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - e^{0})$

चरण 7.2.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1 \cdot 1)$

चरण 7.2.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1)$

चरण 8

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + 0} \cdot (e - 1)$

चरण 8.2

$\frac{π}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2}} \cdot (e - 1)$

चरण 9

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$A (x) = 1 (\frac{2}{π}) \cdot (e - 1)$

चरण 10

$\frac{2}{π}$ को $1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{2}{π} \cdot (e - 1)$

चरण 11

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$A (x) = \frac{2}{π} \cdot e + \frac{2}{π} \cdot - 1$

चरण 12

$\frac{2}{π}$ और $e$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{2}{π} \cdot - 1$

चरण 13

$\frac{2}{π} \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 13.1

$\frac{2}{π}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{2 \cdot - 1}{π}$

चरण 13.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$A (x) = \frac{2 e}{π} + \frac{- 2}{π}$

चरण 14

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$A (x) = \frac{2 e}{π} - \frac{2}{π}$

चरण 15