कैलकुलस उदाहरण

$x e^{\frac{x}{2}}$

चरण 1

$x e^{\frac{x}{2}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$

चरण 2

फलन $F (x)$ को व्युत्पन्न $f (x)$ का अनिश्चित समाकलन ज्ञात करके पता किया जा सकता है.

$F (x) = \int f (x) d x$

चरण 3

हल करने के लिए समाकलन सेट करें.

$F (x) = \int x e^{\frac{x}{2}} d x$

चरण 4

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{\frac{x}{2}}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$x (2 e^{\frac{1}{2} x}) - \int 2 e^{\frac{1}{2} x} d x$

चरण 5

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$x (2 e^{\frac{1}{2} x}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} x} d x)$

चरण 6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} x} d x)$

चरण 6.2

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - (2 \int e^{\frac{x}{2}} d x)$

चरण 6.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{\frac{x}{2}} d x$

चरण 7

मान लीजिए $u = \frac{x}{2}$ .फिर $d u = \frac{1}{2} d x$ , तो $2 d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

मान लें $u = \frac{x}{2}$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$\frac{x}{2}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

चरण 7.1.2

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 7.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

चरण 7.1.4

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2}$

चरण 7.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

चरण 8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 8.1

$\frac{1}{2}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

चरण 8.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} \cdot 2 d u$

चरण 8.3

$2$ को $e^{u}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int 2 e^{u} d u$

चरण 9

चूँकि $2$ बटे $u$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 (2 \int e^{u} d u)$

चरण 10

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 \int e^{u} d u$

चरण 11

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$

चरण 12

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$ को $2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{u} + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{u} + C$

चरण 13

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{2}$ से बदलें.

$2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{\frac{x}{2}} + C$

चरण 14

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 x e^{\frac{1}{2} x} - 4 e^{\frac{1}{2} x} + C$

चरण 15

उत्तर फलन $f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$ का व्युत्पन्न है.

$F (x) =$ $2 x e^{\frac{1}{2} x} - 4 e^{\frac{1}{2} x} + C$