कैलकुलस उदाहरण

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h}$

चरण 1

दो ओर की सीमा को बाईं ओर की सीमा में प्रतिस्थापित करें.

$lim_{h \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}}{h}$

चरण 2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{1}{x + h}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$lim_{h \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{h}$

चरण 2.2

$- \frac{1}{x}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x + h}{x + h}$ से गुणा करें.

$lim_{h \to 0^{-}} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

चरण 2.3

प्रत्येक व्यंजक को $(x + h) x$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{1}{x + h}$ को $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$lim_{h \to 0^{-}} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

चरण 2.3.2

$\frac{1}{x}$ को $\frac{x + h}{x + h}$ से गुणा करें.

$lim_{h \to 0^{-}} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

चरण 2.3.3

$(x + h) x$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$lim_{h \to 0^{-}} \frac{\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

चरण 2.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$lim_{h \to 0^{-}} \frac{\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

चरण 3

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

सीमा तर्क को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{h \to 0^{-}} \frac{x - (x + h)}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

चरण 3.1.2

$\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ को $\frac{1}{h}$ से गुणा करें.

$lim_{h \to 0^{-}} \frac{x - (x + h)}{x (x + h) h}$

चरण 3.2

$\frac{1}{x}$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0^{-}} \frac{x - (x + h)}{(x + h) h}$

चरण 4

एल 'हॉस्पिटल' का नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0^{-}} x - (x + h)}{lim_{h \to 0^{-}} (x + h) h}$

चरण 4.1.2

$h$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.1

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $x - (x + h)$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x - (x + 0)}{lim_{h \to 0^{-}} (x + h) h}$

चरण 4.1.2.2

$x - (x + 0)$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.2.2.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{x - x}{lim_{h \to 0^{-}} (x + h) h}$

चरण 4.1.2.2.2

$x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0^{-}} (x + h) h}$

चरण 4.1.3

भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.1

जैसे ही $h$ $0$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0^{-}} x + h \cdot lim_{h \to 0^{-}} h}$

चरण 4.1.3.2

जैसे-जैसे $h$ $0$ के करीब पहुंचता है, सीमा पर योग नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(lim_{h \to 0^{-}} x + lim_{h \to 0^{-}} h) \cdot lim_{h \to 0^{-}} h}$

चरण 4.1.3.3

$x$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + lim_{h \to 0^{-}} h) \cdot lim_{h \to 0^{-}} h}$

चरण 4.1.3.4

$h$ की सभी घटनाओं के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.4.1

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + 0) \cdot lim_{h \to 0^{-}} h}$

चरण 4.1.3.4.2

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{(x + 0) \cdot 0}$

चरण 4.1.3.5

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.3.5.1

$x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{x \cdot 0}$

चरण 4.1.3.5.2

$x$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

चरण 4.1.3.5.3

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

चरण 4.1.3.6

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

चरण 4.1.4

व्यंजक में $0$ से एक भाग होता है. व्यंजक अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

$\frac{1}{x} \cdot \frac{0}{0}$

चरण 4.2

चूंकि $\frac{0}{0}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{h \to 0^{-}} \frac{x - (x + h)}{(x + h) h} = lim_{h \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d h} [x - (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

चरण 4.3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d h} [x - (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

चरण 4.3.2

योग नियम के अनुसार, $h$ के संबंध में $x - (x + h)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [- (x + h)]$ है.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [- (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

चरण 4.3.3

चूंकि $h$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $h$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0^{-}} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- (x + h)]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

चरण 4.3.4

$\frac{d}{d h} [- (x + h)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.4.1

चूंकि $- 1$ , $h$ के संबंध में स्थिर है, $h$ के संबंध में $- (x + h)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d h} [x + h]$ है.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0^{-}} \frac{0 - \frac{d}{d h} [x + h]}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

चरण 4.3.4.2

योग नियम के अनुसार, $h$ के संबंध में $x + h$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ है.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0^{-}} \frac{0 - (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

चरण 4.3.4.3

चूंकि $h$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $h$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0^{-}} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d h} [h])}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

चरण 4.3.4.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ $n h^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0^{-}} \frac{0 - (0 + 1)}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

चरण 4.3.4.5

$0$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0^{-}} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

चरण 4.3.4.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0^{-}} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

चरण 4.3.5

$0$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0^{-}} \frac{- 1}{\frac{d}{d h} [(x + h) h]}$

चरण 4.3.6

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ है, जहाँ $f (h) = x + h$ और $g (h) = h$ है.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0^{-}} \frac{- 1}{(x + h) \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

चरण 4.3.7

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0^{-}} \frac{- 1}{(x + h) \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

चरण 4.3.8

$x + h$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0^{-}} \frac{- 1}{x + h + h \frac{d}{d h} [x + h]}$

चरण 4.3.9

योग नियम के अनुसार, $h$ के संबंध में $x + h$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ है.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0^{-}} \frac{- 1}{x + h + h (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}$

चरण 4.3.10

चूंकि $h$ के संबंध में $x$ स्थिर है, $h$ के संबंध में $x$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0^{-}} \frac{- 1}{x + h + h (0 + \frac{d}{d h} [h])}$

चरण 4.3.11

$0$ और $\frac{d}{d h} [h]$ जोड़ें.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0^{-}} \frac{- 1}{x + h + h \frac{d}{d h} [h]}$

चरण 4.3.12

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0^{-}} \frac{- 1}{x + h + h \cdot 1}$

चरण 4.3.13

$h$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0^{-}} \frac{- 1}{x + h + h}$

चरण 4.3.14

$h$ और $h$ जोड़ें.

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0^{-}} \frac{- 1}{x + 2 h}$

चरण 4.3.15

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{x} lim_{h \to 0^{-}} \frac{- 1}{2 h + x}$

चरण 5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

जैसे ही $h$ $0$ की ओर आता है, सीमा भागफल नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0^{-}} - 1}{lim_{h \to 0^{-}} 2 h + x}$

चरण 5.2

$- 1$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{lim_{h \to 0^{-}} 2 h + x}$

चरण 5.3

$\frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{lim_{h \to 0^{-}} 2 h + lim_{h \to 0^{-}} x}$

चरण 5.4

$2$ पद को सीमा से बाभाजक ले जाएं क्योंकि यह $h$ के संबंध में स्थिर है.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{h \to 0^{-}} h + lim_{h \to 0^{-}} x}$

चरण 5.5

$x$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $h$ के $0$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{h \to 0^{-}} h + x}$

चरण 6

$h$ के लिए $0$ को प्रतिस्थापित करके $h$ की सीमा का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 0 + x}$

चरण 7

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1.1

$2$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{0 + x}$

चरण 7.1.2

$0$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{- 1}{x}$

चरण 7.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{x} (- \frac{1}{x})$

चरण 7.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

चरण 7.4

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$\frac{1}{x}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{x \cdot x}$

चरण 7.4.2

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{x^{1} x}$

चरण 7.4.3

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{x^{1} x^{1}}$

चरण 7.4.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1}{x^{1 + 1}}$

चरण 7.4.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{1}{x^{2}}$