कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \sin (x) + 8$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\sin (x) + 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [8]$ है.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [8]$

चरण 1.1.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [8]$

चरण 1.1.3

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $x$ के संबंध में $8$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\cos (x) + 0$

चरण 1.1.3.2

$\cos (x)$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \cos (x)$

चरण 1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\cos (x)$ है.

$\cos (x)$

चरण 2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\cos (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\cos (x) = 0$

चरण 2.2

कोज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम कोज्या लें.

$x = \arccos (0)$

चरण 2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\arccos (0)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$x = \frac{π}{2}$

चरण 2.4

पहले और चौथे चतुर्थांश में कोज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, चौथे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $2 π$ से घटाएं.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

चरण 2.5

$2 π - \frac{π}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$2 π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 2.5.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

$2 π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 2.5.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 2.5.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.3.1

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$x = \frac{4 π - π}{2}$

चरण 2.5.3.2

$4 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{3 π}{2}$

चरण 2.6

$\cos (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 2.6.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 2.6.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 2.6.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 2.7

$\cos (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 2.8

उत्तरों को समेकित करें.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 3

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $\frac{π}{2} + π n$ हैं.

$\frac{π}{2} + π n$

चरण 4

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = \cos (x)$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = \sin (x) + 8$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$ है.

$(- \infty, \frac{π}{2} + π n) \cup (\frac{π}{2} + π n, \infty)$

चरण 5

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{2} + π n - 1$ से बदलें.

$f' (\frac{π}{2} + π n - 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

चरण 5.2

अंतिम उत्तर $\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ है.

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

चरण 5.3

सरल करें.

$\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$

चरण 5.4

$x = \frac{π}{2} + π n - 1$ पर व्युत्पन्न $\cos (\frac{π}{2} + π n - 1)$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$ पर घटता हुआ

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{2} + π n + 1$ से बदलें.

$f' (\frac{π}{2} + π n + 1) = \cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

चरण 6.2

अंतिम उत्तर $\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ है.

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

चरण 6.3

सरल करें.

$\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$

चरण 6.4

$x = \frac{π}{2} + π n + 1$ पर व्युत्पन्न $\cos (\frac{π}{2} + π n + 1)$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(\frac{π}{2} + π n, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, \frac{π}{2} + π n)$

चरण 8