कैलकुलस उदाहरण

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{\ln (x)}$

चरण 1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

न्यूमेरेटर की सीमा और भाजक की सीमा लें.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

चरण 1.2

चूँकि घातांक $3 x$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है, इसलिए मान $e^{3 x}$ $\infty$ की ओर एप्रोच करता है.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

चरण 1.3

जैसे ही लघुगणक अनंत की ओर एप्रोच करता है, मान $\infty$ हो जाता है.

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 1.4

अनंत से विभाजित अनंत परिणाम अपरिभाषित होता है.

अपरिभाषित

$\frac{\infty}{\infty}$

चरण 2

चूंकि $\frac{\infty}{\infty}$ अनिश्चित रूप का है, इसलिए L'Hospital' का नियम लागू करें. L'Hospital' के नियम में कहा गया है कि कार्यों के भागफल की सीमा उनके व्युत्पन्न के भागफल की सीमा के बराबर है.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

चरण 3

न्यूमेरेटर और भाजक का व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

न्यूमेरेटर और भाजक में अंतर करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 3 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

चरण 3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

चरण 3.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

चरण 3.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

चरण 3.6

$3$ को $e^{3 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

चरण 3.7

$3$ को $e^{3 x}$ से गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

चरण 3.8

$x$ के संबंध में $\ln (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{x}$ है.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{1}{x}}$

चरण 4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} x$

चरण 5

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

जैसे ही $x$ $\infty$ की ओर आ रहा है, उत्पाद सीमा नियम का उपयोग करके सीमा को विभाजित करें.

$lim_{x \to \infty} 3 \cdot lim_{x \to \infty} e^{3 x} \cdot lim_{x \to \infty} x$

चरण 5.2

$3$ की सीमा का मान ज्ञात करें जो $x$ के $\infty$ पर पहुँचने पर स्थिर होती है.

$3 \cdot lim_{x \to \infty} e^{3 x} \cdot lim_{x \to \infty} x$

चरण 6

$3 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} x$

चरण 7

सीमा का मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

एक बहुपद की अनंत की सीमा जिसका प्रमुख गुणांक धनात्मक है, अनंत है.

$3 \cdot \infty \cdot \infty$

चरण 7.2

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

एक गैर-शून्य स्थिरांक को अनंत से गुना करने पर परिणाम अनंत होता है.

$\infty \cdot \infty$

चरण 7.2.2

अनंत गुना अनंत परिणाम अनंत होता है.

$\infty$