कैलकुलस उदाहरण

$f (t) = \frac{8}{2 t + 16}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$8$ और $2 t + 16$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

$8$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 4}{2 t + 16}]$

चरण 1.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

$2 t$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 4}{2 (t) + 16}]$

चरण 1.1.1.2.2

$16$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 4}{2 (t) + 2 (8)}]$

चरण 1.1.1.2.3

$2 (t) + 2 (8)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 4}{2 (t + 8)}]$

चरण 1.1.1.2.4

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d}{d t} [\frac{2 \cdot 4}{2 (t + 8)}]$

चरण 1.1.1.2.5

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{d}{d t} [\frac{4}{t + 8}]$

चरण 1.1.2

चूंकि $4$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $\frac{4}{t + 8}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 8}]$ है.

$4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 8}]$

चरण 1.1.3

$\frac{1}{t + 8}$ को ${(t + 8)}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$4 \frac{d}{d t} [{(t + 8)}^{- 1}]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = t^{- 1}$ और $g (t) = t + 8$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $t + 8$ के रूप में सेट करें.

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t + 8])$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 8])$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $t + 8$ से बदलें.

$4 (- {(t + 8)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 8])$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$- 4 ({(t + 8)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 8])$

चरण 1.3.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t + 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [8]$ है.

$- 4 {(t + 8)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [8])$

चरण 1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 4 {(t + 8)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d t} [8])$

चरण 1.3.4

चूंकि $t$ के संबंध में $8$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 4 {(t + 8)}^{- 2} (1 + 0)$

चरण 1.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$- 4 {(t + 8)}^{- 2} \cdot 1$

चरण 1.3.5.2

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$- 4 {(t + 8)}^{- 2}$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 4 \frac{1}{{(t + 8)}^{2}}$

चरण 1.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

$- 4$ और $\frac{1}{{(t + 8)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 4}{{(t + 8)}^{2}}$

चरण 1.4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (t) = - \frac{4}{{(t + 8)}^{2}}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चूंकि $- 4$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- \frac{4}{{(t + 8)}^{2}}$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 8)}^{2}}]$ है.

$- 4 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 8)}^{2}}]$

चरण 2.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$\frac{1}{{(t + 8)}^{2}}$ को ${({(t + 8)}^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 4 \frac{d}{d t} [{({(t + 8)}^{2})}^{- 1}]$

चरण 2.1.2.2

घातांक को ${({(t + 8)}^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{d}{d t} [{(t + 8)}^{2 \cdot - 1}]$

चरण 2.1.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 4 \frac{d}{d t} [{(t + 8)}^{- 2}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = t^{- 2}$ और $g (t) = t + 8$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $t + 8$ के रूप में सेट करें.

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d t} [t + 8])$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$- 4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} [t + 8])$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $t + 8$ से बदलें.

$- 4 (- 2 {(t + 8)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t + 8])$

चरण 2.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$- 2$ को $- 4$ से गुणा करें.

$8 ({(t + 8)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t + 8])$

चरण 2.3.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t + 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [8]$ है.

$8 {(t + 8)}^{- 3} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [8])$

चरण 2.3.3

$8 {(t + 8)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d t} [8])$

चरण 2.3.4

चूंकि $t$ के संबंध में $8$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$8 {(t + 8)}^{- 3} (1 + 0)$

चरण 2.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$8 {(t + 8)}^{- 3} \cdot 1$

चरण 2.3.5.2

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$8 {(t + 8)}^{- 3}$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$8 \frac{1}{{(t + 8)}^{3}}$

चरण 2.4.2

$8$ और $\frac{1}{{(t + 8)}^{3}}$ को मिलाएं.

$f'' (t) = \frac{8}{{(t + 8)}^{3}}$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चूंकि $8$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $\frac{8}{{(t + 8)}^{3}}$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 8)}^{3}}]$ है.

$8 \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(t + 8)}^{3}}]$

चरण 3.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.1

$\frac{1}{{(t + 8)}^{3}}$ को ${({(t + 8)}^{3})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$8 \frac{d}{d t} [{({(t + 8)}^{3})}^{- 1}]$

चरण 3.1.2.2

घातांक को ${({(t + 8)}^{3})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{d}{d t} [{(t + 8)}^{3 \cdot - 1}]$

चरण 3.1.2.2.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$8 \frac{d}{d t} [{(t + 8)}^{- 3}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = t^{- 3}$ और $g (t) = t + 8$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $t + 8$ के रूप में सेट करें.

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d t} [t + 8])$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 3$ है.

$8 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d t} [t + 8])$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $t + 8$ से बदलें.

$8 (- 3 {(t + 8)}^{- 4} \frac{d}{d t} [t + 8])$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- 3$ को $8$ से गुणा करें.

$- 24 ({(t + 8)}^{- 4} \frac{d}{d t} [t + 8])$

चरण 3.3.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t + 8$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [8]$ है.

$- 24 {(t + 8)}^{- 4} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [8])$

चरण 3.3.3

$- 24 {(t + 8)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d t} [8])$

चरण 3.3.4

चूंकि $t$ के संबंध में $8$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $8$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 24 {(t + 8)}^{- 4} (1 + 0)$

चरण 3.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$- 24 {(t + 8)}^{- 4} \cdot 1$

चरण 3.3.5.2

$- 24$ को $1$ से गुणा करें.

$- 24 {(t + 8)}^{- 4}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 24 \frac{1}{{(t + 8)}^{4}}$

चरण 3.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$- 24$ और $\frac{1}{{(t + 8)}^{4}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 24}{{(t + 8)}^{4}}$

चरण 3.4.2.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f''' (t) = - \frac{24}{{(t + 8)}^{4}}$

चरण 4

$f (t)$ का तीसरा व्युत्पन्न बटे $t$ , $- \frac{24}{{(t + 8)}^{4}}$ है.

$- \frac{24}{{(t + 8)}^{4}}$