कैलकुलस उदाहरण

$f (t) = \frac{7 \ln (t)}{t}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चूंकि $7$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $\frac{7 \ln (t)}{t}$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{t}]$ है.

$7 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{t}]$

चरण 1.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ है, जहाँ $f (t) = \ln (t)$ और $g (t) = t$ है.

$7 \frac{t \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

चरण 1.3

$t$ के संबंध में $\ln (t)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{t}$ है.

$7 \frac{t \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

चरण 1.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$t$ और $\frac{1}{t}$ को मिलाएं.

$7 \frac{\frac{t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

चरण 1.4.2

$t$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$7 \frac{\frac{t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

चरण 1.4.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$7 \frac{1 - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

चरण 1.4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$7 \frac{1 - \ln (t) \cdot 1}{t^{2}}$

चरण 1.4.4

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.4.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$7 \frac{1 - \ln (t)}{t^{2}}$

चरण 1.4.4.2

$7$ और $\frac{1 - \ln (t)}{t^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{7 (1 - \ln (t))}{t^{2}}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{7 \cdot 1 + 7 (- \ln (t))}{t^{2}}$

चरण 1.5.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{7 + 7 (- \ln (t))}{t^{2}}$

चरण 1.5.2.2

$7 (- \ln (t))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.2.1

$- 1$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{7 - 7 \ln (t)}{t^{2}}$

चरण 1.5.2.2.2

$7$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 7 \ln (t)$ को सरल करें.

$f' (t) = \frac{7 - \ln (t^{7})}{t^{2}}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

घातांक को ${(t^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{2 \cdot 2}}$

चरण 2.2.1.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

चरण 2.2.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $7 - \ln (t^{7})$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]$ है.

$\frac{t^{2} (\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

चरण 2.2.3

चूंकि $t$ के संबंध में $7$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $7$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{t^{2} (0 + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

चरण 2.2.4

$0$ और $\frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]$ जोड़ें.

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

चरण 2.2.5

चूंकि $- 1$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- \ln (t^{7})$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d t} [\ln (t^{7})]$ है.

$\frac{t^{2} (- \frac{d}{d t} [\ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

चरण 2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \ln (t)$ और $g (t) = t^{7}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $t^{7}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{t^{2} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

चरण 2.3.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{t^{2} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

चरण 2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $t^{7}$ से बदलें.

$\frac{t^{2} (- (\frac{1}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$t^{2}$ और $\frac{1}{t^{7}}$ को मिलाएं.

$\frac{- \frac{t^{2}}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

चरण 2.4.2

$t^{2}$ और $t^{7}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.1

$1$ से गुणा करें.

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

चरण 2.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.2.2.1

$t^{7}$ में से $t^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{2} t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

चरण 2.4.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{2} t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

चरण 2.4.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- \frac{1}{t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

चरण 2.4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 7$ है.

$\frac{- \frac{1}{t^{5}} (7 t^{6}) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

चरण 2.4.4

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.4.1

$7$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 7 \frac{1}{t^{5}} t^{6} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

चरण 2.4.4.2

$- 7$ और $\frac{1}{t^{5}}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{- 7}{t^{5}} t^{6} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

चरण 2.4.4.3

$\frac{- 7}{t^{5}}$ और $t^{6}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{- 7 t^{6}}{t^{5}} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

चरण 2.4.4.4

$t^{6}$ और $t^{5}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.4.4.1

$- 7 t^{6}$ में से $t^{5}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5}} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

चरण 2.4.4.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.4.4.2.1

$1$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5} \cdot 1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

चरण 2.4.4.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5} \cdot 1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

चरण 2.4.4.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{- 7 t}{1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

चरण 2.4.4.4.2.4

$- 7 t$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{- 7 t - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

चरण 2.4.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{- 7 t - (7 - \ln (t^{7})) (2 t)}{t^{4}}$

चरण 2.4.6

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.6.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 7 t - 2 (7 - \ln (t^{7})) t}{t^{4}}$

चरण 2.4.6.2

$- 7 t - 2 (7 - \ln (t^{7})) t$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.6.2.1

$- 7 t$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$\frac{t \cdot - 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})) t}{t^{4}}$

चरण 2.4.6.2.2

$- 2 (7 - \ln (t^{7})) t$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$\frac{t \cdot - 7 + t (- 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t^{4}}$

चरण 2.4.6.2.3

$t \cdot - 7 + t (- 2 (7 - \ln (t^{7})))$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t^{4}}$

चरण 2.5

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$t^{4}$ में से $t$ का गुणनखंड करें.

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t \cdot t^{3}}$

चरण 2.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t \cdot t^{3}}$

चरण 2.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

चरण 2.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- 7 - 2 \cdot 7 - 2 (- \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

चरण 2.6.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1.1

$- 2$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{- 7 - 14 - 2 (- \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

चरण 2.6.2.1.2

$- 2 (- \ln (t^{7}))$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1.2.1

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{- 7 - 14 + 2 \ln (t^{7})}{t^{3}}$

चरण 2.6.2.1.2.2

$2$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $2 \ln (t^{7})$ को सरल करें.

$\frac{- 7 - 14 + \ln ({(t^{7})}^{2})}{t^{3}}$

चरण 2.6.2.1.3

घातांक को ${(t^{7})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 7 - 14 + \ln (t^{7 \cdot 2})}{t^{3}}$

चरण 2.6.2.1.3.2

$7$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{- 7 - 14 + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

चरण 2.6.2.2

$- 7$ में से $14$ घटाएं.

$\frac{- 21 + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

चरण 2.6.3

$- 21$ को $- 1 (21)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (21) + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

चरण 2.6.4

$\ln (t^{14})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (21) - 1 (- \ln (t^{14}))}{t^{3}}$

चरण 2.6.5

$- 1 (21) - 1 (- \ln (t^{14}))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (21 - \ln (t^{14}))}{t^{3}}$

चरण 2.6.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (t) = - \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$

चरण 3

$f (t)$ का दूसरा व्युत्पन्न बटे $t$ , $- \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$ है.

$- \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$