कैलकुलस उदाहरण

$y = 3 \cos (x) + {(x + 2)}^{4}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 \cos (x) + {(x + 2)}^{4}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

चरण 1.2

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

चरण 1.2.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

चरण 1.2.3

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

चरण 1.3

$\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = x + 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 2$ के रूप में सेट करें.

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 2]$

चरण 1.3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$- 3 \sin (x) + 4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

चरण 1.3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 2$ से बदलें.

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

चरण 1.3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 1.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 1.3.4

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} (1 + 0)$

चरण 1.3.5

$1$ और $0$ जोड़ें.

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} \cdot 1$

चरण 1.3.6

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3}$

चरण 1.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = 4 {(x + 2)}^{3} - 3 \sin (x)$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 {(x + 2)}^{3} - 3 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 {(x + 2)}^{3}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$ है.

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

चरण 2.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = x + 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x + 2$ के रूप में सेट करें.

$4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

चरण 2.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

चरण 2.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x + 2$ से बदलें.

$4 (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

चरण 2.2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$4 (3 {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

चरण 2.2.4

$4 (3 {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

चरण 2.2.5

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 (3 {(x + 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

चरण 2.2.6

$1$ और $0$ जोड़ें.

$4 (3 {(x + 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

चरण 2.2.7

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$4 (3 {(x + 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

चरण 2.2.8

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$12 {(x + 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 \sin (x)$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$12 {(x + 2)}^{2} - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

चरण 2.3.2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$f'' (x) = 12 {(x + 2)}^{2} - 3 \cos (x)$

चरण 3

व्युत्पन्न ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

${(x + 2)}^{2}$ को $(x + 2) (x + 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [12 ((x + 2) (x + 2)) - 3 \cos (x)]$

चरण 3.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(x + 2) (x + 2)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [12 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - 3 \cos (x)]$

चरण 3.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [12 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) - 3 \cos (x)]$

चरण 3.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d x} [12 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 3 \cos (x)]$

चरण 3.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1.1

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 3 \cos (x)]$

चरण 3.3.1.2

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) - 3 \cos (x)]$

चरण 3.3.1.3

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) - 3 \cos (x)]$

चरण 3.3.2

$2 x$ और $2 x$ जोड़ें.

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4) - 3 \cos (x)]$

चरण 3.4

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $12 (x^{2} + 4 x + 4) - 3 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

चरण 3.5

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

चूंकि $12$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $12 (x^{2} + 4 x + 4)$ का व्युत्पन्न $12 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$ है.

$12 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

चरण 3.5.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 4 x + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$12 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

चरण 3.5.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$12 (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

चरण 3.5.4

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$12 (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

चरण 3.5.5

$12 (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

चरण 3.5.6

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$12 (2 x + 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

चरण 3.5.7

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$12 (2 x + 4 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

चरण 3.5.8

$2 x + 4$ और $0$ जोड़ें.

$12 (2 x + 4) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

चरण 3.6

$\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$12 (2 x + 4) - 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 3.6.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$12 (2 x + 4) - 3 (- \sin (x))$

चरण 3.6.3

$- 1$ को $- 3$ से गुणा करें.

$12 (2 x + 4) + 3 \sin (x)$

चरण 3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$12 (2 x) + 12 \cdot 4 + 3 \sin (x)$

चरण 3.7.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.1

$2$ को $12$ से गुणा करें.

$24 x + 12 \cdot 4 + 3 \sin (x)$

चरण 3.7.2.2

$12$ को $4$ से गुणा करें.

$f''' (x) = 24 x + 48 + 3 \sin (x)$