कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{\cos (x)}{e^{x}}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

चरण 1.2

घातांक को ${(e^{x})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

चरण 1.2.2

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 1.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

चरण 1.4

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{- e^{x} \sin (x) - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

चरण 1.5.1.2

गुणनखंडों को $- e^{x} \sin (x) - \cos (x) e^{x}$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

चरण 1.5.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

$- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1.1

$- e^{x} \sin (x)$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

चरण 1.5.2.1.2

$- e^{x} \cos (x)$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} (- \cos (x))}{e^{2 x}}$

चरण 1.5.2.1.3

$e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} (- \cos (x))$ में से $e^{x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (- \sin (x) - \cos (x))}{e^{2 x}}$

चरण 1.5.2.2

$- \sin (x) - \cos (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.2.1

$- \sin (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (- (\sin (x)) - \cos (x))}{e^{2 x}}$

चरण 1.5.2.2.2

$- \cos (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (- (\sin (x)) - (\cos (x)))}{e^{2 x}}$

चरण 1.5.2.2.3

$- (\sin (x)) - (\cos (x))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{x} (- (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x}}$

$\frac{e^{x} \cdot - 1 (\sin (x) + \cos (x))}{e^{2 x}}$

चरण 1.5.2.3

गुणनखंड ऋणात्मक प्राप्त हुआ.

$\frac{- e^{x} (\sin (x) + \cos (x))}{e^{2 x}}$

चरण 1.5.3

$e^{x}$ और $e^{2 x}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.1

$- e^{x} (\sin (x) + \cos (x))$ में से $e^{2 x}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{e^{2 x} (- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x}}$

चरण 1.5.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.3.2.1

$1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{2 x} (- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

चरण 1.5.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{e^{2 x} (- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

चरण 1.5.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))}{1}$

चरण 1.5.3.2.4

$- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))$ को $1$ से विभाजित करें.

$- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))$

चरण 1.5.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f' (x) = - e^{- x} \sin (x) - e^{- x} \cos (x)$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $- e^{- x} \sin (x) - e^{- x} \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [- e^{- x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [- e^{- x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [- e^{- x} \sin (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- e^{- x} \sin (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [e^{- x} \sin (x)]$ है.

$- \frac{d}{d x} [e^{- x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

चरण 2.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = e^{- x}$ और $g (x) = \sin (x)$ है.

$- (e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

चरण 2.2.3

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

चरण 2.2.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

चरण 2.2.4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

चरण 2.2.4.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

चरण 2.2.5

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

चरण 2.2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

चरण 2.2.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \cdot - 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

चरण 2.2.8

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- 1 \cdot e^{- x})) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

चरण 2.2.9

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- e^{- x} \cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$ है.

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$

चरण 2.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = e^{- x}$ और $g (x) = \cos (x)$ है.

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

चरण 2.3.3

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

चरण 2.3.4

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]))$

चरण 2.3.4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]))$

चरण 2.3.4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

चरण 2.3.5

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

चरण 2.3.6

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

चरण 2.3.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \cdot - 1))$

चरण 2.3.8

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

चरण 2.3.9

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- (e^{- x} \cos (x)) - (\sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

चरण 2.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- (e^{- x} \cos (x)) - (\sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

चरण 2.4.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- e^{- x} \cos (x) + 1 (\sin (x) (e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

चरण 2.4.3.2

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} - (e^{- x} (- \sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

चरण 2.4.3.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + 1 (e^{- x} (\sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

चरण 2.4.3.4

$e^{- x}$ को $1$ से गुणा करें.

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + e^{- x} \sin (x) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

चरण 2.4.3.5

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + e^{- x} \sin (x) + 1 (\cos (x) (e^{- x}))$

चरण 2.4.3.6

$\cos (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + e^{- x} \sin (x) + \cos (x) e^{- x}$

चरण 2.4.3.7

$\sin (x) e^{- x}$ और $e^{- x} \sin (x)$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.7.1

$\sin (x)$ और $e^{- x}$ को पुन: क्रमित करें.

$- e^{- x} \cos (x) + e^{- x} \sin (x) + e^{- x} \sin (x) + \cos (x) e^{- x}$

चरण 2.4.3.7.2

$e^{- x} \sin (x)$ और $e^{- x} \sin (x)$ जोड़ें.

$- e^{- x} \cos (x) + 2 e^{- x} \sin (x) + \cos (x) e^{- x}$

चरण 2.4.3.8

$- e^{- x} \cos (x)$ और $\cos (x) e^{- x}$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.3.8.1

$\cos (x)$ और $e^{- x}$ को पुन: क्रमित करें.

$2 e^{- x} \sin (x) - e^{- x} \cos (x) + e^{- x} \cos (x)$

चरण 2.4.3.8.2

$- e^{- x} \cos (x)$ और $e^{- x} \cos (x)$ जोड़ें.

$2 e^{- x} \sin (x) + 0$

चरण 2.4.3.9

$2 e^{- x} \sin (x)$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 2 e^{- x} \sin (x)$