कैलकुलस उदाहरण

$y = \sqrt{9 x + 6}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

$\sqrt{9 x + 6}$ को ${(9 x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\frac{d}{d x} [{(9 x + 6)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 1.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = 9 x + 6$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $9 x + 6$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x + 6]$

चरण 1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x + 6]$

चरण 1.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $9 x + 6$ से बदलें.

$\frac{1}{2} {(9 x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x + 6]$

चरण 1.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(9 x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x + 6]$

चरण 1.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} {(9 x + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x + 6]$

चरण 1.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2} {(9 x + 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x + 6]$

चरण 1.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} {(9 x + 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x + 6]$

चरण 1.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{2} {(9 x + 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x + 6]$

चरण 1.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{2} {(9 x + 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x + 6]$

चरण 1.7.2

$\frac{1}{2}$ और ${(9 x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(9 x + 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x + 6]$

चरण 1.7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(9 x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 {(9 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x + 6]$

चरण 1.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $9 x + 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [6]$ है.

$\frac{1}{2 {(9 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [6])$

चरण 1.9

चूंकि $9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $9 x$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{2 {(9 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

चरण 1.10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{2 {(9 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

चरण 1.11

$9$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2 {(9 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (9 + \frac{d}{d x} [6])$

चरण 1.12

चूंकि $x$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{2 {(9 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} (9 + 0)$

चरण 1.13

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.13.1

$9$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 {(9 x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 9$

चरण 1.13.2

$\frac{1}{2 {(9 x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ और $9$ को मिलाएं.

$f' (x) = \frac{9}{2 {(9 x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चूंकि $\frac{9}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{9}{2 {(9 x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ का व्युत्पन्न $\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(9 x + 6)}^{\frac{1}{2}}}]$ है.

$\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(9 x + 6)}^{\frac{1}{2}}}]$

चरण 2.1.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

$\frac{1}{{(9 x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ को ${({(9 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [{({(9 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

चरण 2.1.2.2

घातांक को ${({(9 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [{(9 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

चरण 2.1.2.2.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [{(9 x + 6)}^{\frac{- 1}{2}}]$

चरण 2.1.2.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{9}{2} \frac{d}{d x} [{(9 x + 6)}^{- \frac{1}{2}}]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ और $g (x) = 9 x + 6$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $9 x + 6$ के रूप में सेट करें.

$\frac{9}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - \frac{1}{2}$ है.

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $9 x + 6$ से बदलें.

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{2} {(9 x + 6)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

चरण 2.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{2} {(9 x + 6)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

चरण 2.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{2} {(9 x + 6)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

चरण 2.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{2} {(9 x + 6)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

चरण 2.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{2} {(9 x + 6)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

चरण 2.6.2

$- 1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{2} {(9 x + 6)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

चरण 2.7

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{2} {(9 x + 6)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

चरण 2.7.2

${(9 x + 6)}^{- \frac{3}{2}}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{9}{2} (- \frac{{(9 x + 6)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

चरण 2.7.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(9 x + 6)}^{- \frac{3}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{2 {(9 x + 6)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

चरण 2.7.4

$\frac{9}{2}$ को $\frac{1}{2 {(9 x + 6)}^{\frac{3}{2}}}$ से गुणा करें.

$- \frac{9}{2 (2 {(9 x + 6)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [9 x + 6]$

चरण 2.7.5

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{9}{4 {(9 x + 6)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x + 6]$

चरण 2.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $9 x + 6$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [6]$ है.

$- \frac{9}{4 {(9 x + 6)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [6])$

चरण 2.9

चूंकि $9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $9 x$ का व्युत्पन्न $9 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- \frac{9}{4 {(9 x + 6)}^{\frac{3}{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

चरण 2.10

$- \frac{9}{4 {(9 x + 6)}^{\frac{3}{2}}} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

चरण 2.11

$9$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{9}{4 {(9 x + 6)}^{\frac{3}{2}}} (9 + \frac{d}{d x} [6])$

चरण 2.12

चूंकि $x$ के संबंध में $6$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $6$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- \frac{9}{4 {(9 x + 6)}^{\frac{3}{2}}} (9 + 0)$

चरण 2.13

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.1

$9$ और $0$ जोड़ें.

$- \frac{9}{4 {(9 x + 6)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 9$

चरण 2.13.2

$9$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 9 \frac{9}{4 {(9 x + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.13.3

$- 9$ और $\frac{9}{4 {(9 x + 6)}^{\frac{3}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 9 \cdot 9}{4 {(9 x + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.13.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.13.4.1

$- 9$ को $9$ से गुणा करें.

$\frac{- 81}{4 {(9 x + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 2.13.4.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f'' (x) = - \frac{81}{4 {(9 x + 6)}^{\frac{3}{2}}}$