कैलकुलस उदाहरण

$y = (x^{3} + 2) e^{x}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{3} + 2$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$(x^{3} + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

चरण 1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$(x^{3} + 2) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2]$

चरण 1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$(x^{3} + 2) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$(x^{3} + 2) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 1.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(x^{3} + 2) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 0)$

चरण 1.3.4

$3 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$(x^{3} + 2) e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

चरण 1.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} e^{x} + 2 e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

चरण 1.4.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$

चरण 1.4.3

गुणनखंडों को $e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$ में पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

चरण 2.2.2

$x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

चरण 2.2.3

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2} e^{x}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ है.

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

चरण 2.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

चरण 2.3.3

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

चरण 2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

चरण 2.4

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 e^{x}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ है.

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

चरण 2.4.2

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 2 e^{x}$

चरण 2.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x}) + 3 (e^{x} (2 x)) + 2 e^{x}$

चरण 2.5.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 x^{2} e^{x} + 6 (e^{x} (x)) + 2 e^{x}$

चरण 2.5.2.2

$e^{x} (3 x^{2})$ और $3 x^{2} e^{x}$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.2.2.1

$e^{x}$ ले जाएं.

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 6 e^{x} x + 2 e^{x}$

चरण 2.5.2.2.2

$3 x^{2} e^{x}$ और $3 x^{2} e^{x}$ जोड़ें.

$x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 e^{x} x + 2 e^{x}$

चरण 2.5.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x + 2 e^{x}$

चरण 2.5.4

गुणनखंडों को $e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x + 2 e^{x}$ में पुन: क्रमित करें.

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} + 2 e^{x}$