कैलकुलस उदाहरण

$y = {(7 + \frac{4}{x})}^{4}$

चरण 1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = 7 + \frac{4}{x}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $7 + \frac{4}{x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

चरण 1.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

चरण 1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $7 + \frac{4}{x}$ से बदलें.

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

चरण 1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $7 + \frac{4}{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ है.

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

चरण 1.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $7$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $7$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

चरण 1.2.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ जोड़ें.

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

चरण 1.2.4

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{4}{x}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

चरण 1.2.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$4$ को $4$ से गुणा करें.

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

चरण 1.2.5.2

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

चरण 1.2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (- x^{- 2})$

चरण 1.2.7

$- 1$ को $16$ से गुणा करें.

$- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} x^{- 2}$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{1}{x^{2}}$

चरण 1.3.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

$\frac{1}{x^{2}}$ और $- 16$ को मिलाएं.

$\frac{- 16}{x^{2}} {(7 + \frac{4}{x})}^{3}$

चरण 1.3.2.2

$\frac{- 16}{x^{2}}$ और ${(7 + \frac{4}{x})}^{3}$ को मिलाएं.

$\frac{- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

चरण 1.3.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

चरण 1.3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.3.1

$7$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x}{x}$ से गुणा करें.

$- \frac{16 {(\frac{7 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

चरण 1.3.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{16 {(\frac{7 x + 4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

चरण 1.3.3.3

उत्पाद नियम को $\frac{7 x + 4}{x}$ पर लागू करें.

$- \frac{16 \frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

चरण 1.3.4

$16$ और $\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}$ को मिलाएं.

$- \frac{\frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

चरण 1.3.5

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- (\frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

चरण 1.3.6

जोड़ना.

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{3} x^{2}}$

चरण 1.3.7

घातांक जोड़कर $x^{3}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.7.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{3 + 2}}$

चरण 1.3.7.2

$3$ और $2$ जोड़ें.

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{5}}$

चरण 1.3.8

$16 {(7 x + 4)}^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (x) = - \frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}$

चरण 2

दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $- 16$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}$ का व्युत्पन्न $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}]$ है.

$- 16 \frac{d}{d x} [\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}]$

चरण 2.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = {(7 x + 4)}^{3}$ और $g (x) = x^{5}$ है.

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

चरण 2.3

घातांक को ${(x^{5})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

चरण 2.3.2

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

चरण 2.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = 7 x + 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $7 x + 4$ के रूप में सेट करें.

$- 16 \frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

चरण 2.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$- 16 \frac{x^{5} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

चरण 2.4.3

$u$ की सभी घटनाओं को $7 x + 4$ से बदलें.

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

चरण 2.5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $7 x + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

चरण 2.5.2

चूंकि $7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $7 x$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

चरण 2.5.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

चरण 2.5.4

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

चरण 2.5.5

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 + 0)) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

चरण 2.5.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.6.1

$7$ और $0$ जोड़ें.

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} \cdot 7) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

चरण 2.5.6.2

$7$ को $3$ से गुणा करें.

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

चरण 2.5.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - {(7 x + 4)}^{3} (5 x^{4})}{x^{10}}$

चरण 2.5.8

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.8.1

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$

चरण 2.5.8.2

$- 16$ और $\frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$ को मिलाएं.

$\frac{- 16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

चरण 2.5.8.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

चरण 2.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2})) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

चरण 2.6.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1

$16 x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})$ में से $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.1.1

$16 x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2})$ में से $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

चरण 2.6.2.1.2

$16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})$ में से $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

चरण 2.6.2.1.3

$16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 5 (7 x + 4))$ में से $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21) - 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

चरण 2.6.2.2

$21$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

चरण 2.6.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 5 (7 x) - 5 \cdot 4)}{x^{10}}$

चरण 2.6.2.4

$7$ को $- 5$ से गुणा करें.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 35 x - 5 \cdot 4)}{x^{10}}$

चरण 2.6.2.5

$- 5$ को $4$ से गुणा करें.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 35 x - 20)}{x^{10}}$

चरण 2.6.2.6

$21 x$ में से $35 x$ घटाएं.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 14 x - 20)}{x^{10}}$

चरण 2.6.2.7

$- 14 x - 20$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.2.7.1

$- 14 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x) - 20)}{x^{10}}$

चरण 2.6.2.7.2

$- 20$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x) + 2 (- 10))}{x^{10}}$

चरण 2.6.2.7.3

$2 (- 7 x) + 2 (- 10)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x - 10))}{x^{10}}$

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} \cdot 2 (- 7 x - 10)}{x^{10}}$

चरण 2.6.2.8

$2$ को $16$ से गुणा करें.

$- \frac{32 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)}{x^{10}}$

चरण 2.6.3

$x^{4}$ और $x^{10}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.3.1

$32 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)$ में से $x^{4}$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{10}}$

चरण 2.6.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.6.3.2.1

$x^{10}$ में से $x^{4}$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{4} x^{6}}$

चरण 2.6.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{4} x^{6}}$

चरण 2.6.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)}{x^{6}}$

चरण 2.6.4

$- 7 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x) - 10)}{x^{6}}$

चरण 2.6.5

$- 10$ को $- 1 (10)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x) - 1 (10))}{x^{6}}$

चरण 2.6.6

$- (7 x) - 1 (10)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x + 10))}{x^{6}}$

चरण 2.6.7

$- (7 x + 10)$ को $- 1 (7 x + 10)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- 1 (7 x + 10))}{x^{6}}$

चरण 2.6.8

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- - \frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

चरण 2.6.9

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

चरण 2.6.10

$\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

चरण 2.6.11

गुणनखंडों को $\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$ में पुन: क्रमित करें.

$f'' (x) = \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (7 x + 10)}{x^{6}}$