कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \ln (x^{2} + 5 x + 9)$ , $[- 3, 1]$

चरण 1

क्रांतिक बिन्दुओं को ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{2} + 5 x + 9$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{2} + 5 x + 9$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 9]$

चरण 1.1.1.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 9]$

चरण 1.1.1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 5 x + 9$ से बदलें.

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 9]$

चरण 1.1.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 5 x + 9$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9]$ है.

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

चरण 1.1.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

चरण 1.1.1.2.3

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

चरण 1.1.1.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

चरण 1.1.1.2.5

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [9])$

चरण 1.1.1.2.6

चूंकि $x$ के संबंध में $9$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5 + 0)$

चरण 1.1.1.2.7

$2 x + 5$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5)$

चरण 1.1.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1.3.1

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9} (2 x + 5)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(2 x + 5) \frac{1}{x^{2} + 5 x + 9}$

चरण 1.1.1.3.2

$2 x + 5$ को $\frac{1}{x^{2} + 5 x + 9}$ से गुणा करें.

$f' (x) = \frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9}$

चरण 1.1.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9}$ है.

$\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9}$

चरण 1.2

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{2 x + 5}{x^{2} + 5 x + 9} = 0$

चरण 1.2.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$2 x + 5 = 0$

चरण 1.2.3

$x$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $5$ घटाएं.

$2 x = - 5$

चरण 1.2.3.2

$2 x = - 5$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.1

$2 x = - 5$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

चरण 1.2.3.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

चरण 1.2.3.2.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 5}{2}$

चरण 1.2.3.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{5}{2}$

चरण 1.3

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.

चरण 1.4

प्रत्येक $x$ मान पर $\ln (x^{2} + 5 x + 9)$ का मूल्यांकन करें जहां व्युत्पन्न $0$ या अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$x = - \frac{5}{2}$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.1

$- \frac{5}{2}$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\ln ({(- \frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

चरण 1.4.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1.1

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1.1.1

उत्पाद नियम को $- \frac{5}{2}$ पर लागू करें.

$\ln ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

चरण 1.4.1.2.1.1.2

उत्पाद नियम को $\frac{5}{2}$ पर लागू करें.

$\ln ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

चरण 1.4.1.2.1.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\ln (1 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

चरण 1.4.1.2.1.3

$\frac{5^{2}}{2^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (\frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

चरण 1.4.1.2.1.4

$5$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\ln (\frac{25}{2^{2}} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

चरण 1.4.1.2.1.5

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\ln (\frac{25}{4} + 5 (- \frac{5}{2}) + 9)$

चरण 1.4.1.2.1.6

$5 (- \frac{5}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.1.6.1

$- 1$ को $5$ से गुणा करें.

$\ln (\frac{25}{4} - 5 (\frac{5}{2}) + 9)$

चरण 1.4.1.2.1.6.2

$- 5$ और $\frac{5}{2}$ को मिलाएं.

$\ln (\frac{25}{4} + \frac{- 5 \cdot 5}{2} + 9)$

चरण 1.4.1.2.1.6.3

$- 5$ को $5$ से गुणा करें.

$\ln (\frac{25}{4} + \frac{- 25}{2} + 9)$

चरण 1.4.1.2.1.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 9)$

चरण 1.4.1.2.2

सामान्य भाजक पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.2.1

$\frac{25}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (\frac{25}{4} - (\frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 9)$

चरण 1.4.1.2.2.2

$\frac{25}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 9)$

चरण 1.4.1.2.2.3

$9$ को भाजक $1$ वाली भिन्न के रूप में लिखें.

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{1})$

चरण 1.4.1.2.2.4

$\frac{9}{1}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{4})$

चरण 1.4.1.2.2.5

$\frac{9}{1}$ को $\frac{4}{4}$ से गुणा करें.

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9 \cdot 4}{4})$

चरण 1.4.1.2.2.6

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\ln (\frac{25}{4} - \frac{25 \cdot 2}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4})$

चरण 1.4.1.2.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\ln (\frac{25 - 25 \cdot 2 + 9 \cdot 4}{4})$

चरण 1.4.1.2.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.4.1

$- 25$ को $2$ से गुणा करें.

$\ln (\frac{25 - 50 + 9 \cdot 4}{4})$

चरण 1.4.1.2.4.2

$9$ को $4$ से गुणा करें.

$\ln (\frac{25 - 50 + 36}{4})$

चरण 1.4.1.2.5

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1.2.5.1

$25$ में से $50$ घटाएं.

$\ln (\frac{- 25 + 36}{4})$

चरण 1.4.1.2.5.2

$- 25$ और $36$ जोड़ें.

$\ln (\frac{11}{4})$

चरण 1.4.2

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- \frac{5}{2}, \ln (\frac{11}{4}))$

चरण 2

शामिल समापन बिंदुओं पर मूल्यांकन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$x = - 3$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$- 3$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\ln ({(- 3)}^{2} + 5 (- 3) + 9)$

चरण 2.1.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

$- 3$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\ln (9 + 5 (- 3) + 9)$

चरण 2.1.2.1.2

$5$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\ln (9 - 15 + 9)$

चरण 2.1.2.2

जोड़कर और घटाकर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.2.1

$9$ में से $15$ घटाएं.

$\ln (- 6 + 9)$

चरण 2.1.2.2.2

$- 6$ और $9$ जोड़ें.

$\ln (3)$

चरण 2.2

$x = 1$ पर मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$\ln ({(1)}^{2} + 5 (1) + 9)$

चरण 2.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\ln (1 + 5 (1) + 9)$

चरण 2.2.2.1.2

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (1 + 5 + 9)$

चरण 2.2.2.2

संख्याओं को जोड़कर सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.2.1

$1$ और $5$ जोड़ें.

$\ln (6 + 9)$

चरण 2.2.2.2.2

$6$ और $9$ जोड़ें.

$\ln (15)$

चरण 2.3

सभी बिंदुओं को सूचीबद्ध करें.

$(- 3, \ln (3)), (1, \ln (15))$

चरण 3

दिए गए अंतराल में पूर्ण अधिकतम और न्यूनतम निर्धारित करने के लिए $x$ के प्रत्येक मान के लिए पाए गए $f (x)$ मानों की तुलना करें. अधिकतम उच्चतम $f (x)$ मान पर होगा और न्यूनतम न्यूनतम $f (x)$ मान पर होगा.

निरपेक्ष उचिष्ठ: $(1, \ln (15))$

निरपेक्ष निम्निष्ठ: $(- \frac{5}{2}, \ln (\frac{11}{4}))$

चरण 4