कैलकुलस उदाहरण

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$

चरण 1

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$

चरण 2

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$

चरण 2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \ln (\frac{x}{2})$ है.

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = \frac{x}{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x}{2}$ के रूप में सेट करें.

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.3.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{2}$ से बदलें.

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.4

$\frac{x}{2}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$5 (x^{2} (1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.5

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

$\frac{2}{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$5 (x^{2} (\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.5.2

$\frac{2}{x}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$5 (\frac{2 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.5.3

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.3.1

$2 x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$5 (\frac{x (2 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.5.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 (\frac{x (2 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.5.3.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.5.3.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.5.3.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$5 (\frac{2 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.5.3.2.5

$2 x$ को $1$ से विभाजित करें.

$5 (2 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.6

चूंकि $\frac{1}{2}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{x}{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$5 (2 x (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.7

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$5 (x (\frac{2}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.7.2

$\frac{2}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.7.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.7.3.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.9

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

चरण 2.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

चरण 2.11.2

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{2}) x$

चरण 2.11.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

चरण 3

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [5 x]$ है.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{2})]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चूंकि $10$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $10 x \ln (\frac{x}{2})$ का व्युत्पन्न $10 \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{x}{2})]$ है.

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 3.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (\frac{x}{2})$ है.

$f'' (x) = 10 (x \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 3.2.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x}{2}$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 3.2.3.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 3.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{2}$ से बदलें.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 3.2.4

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 3.2.5

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 3.2.6

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 3.2.7

$\frac{x}{2}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$f'' (x) = 10 (x (1 (\frac{2}{x}) \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 3.2.8

$\frac{2}{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 3.2.9

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 3.2.10

$\frac{2}{x}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x \cdot 2}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 3.2.11

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{2 \cdot x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 3.2.12

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.12.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{2 x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 3.2.12.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 3.2.13

$x$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 3.2.14

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.14.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 3.2.14.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 3.2.15

$\ln (\frac{x}{2})$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5 \frac{d}{d x} (x)$

चरण 3.3.2

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5 \cdot 1$

चरण 3.3.3

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + 10 \ln (\frac{x}{2}) + 5$

चरण 3.4.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

$10$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 10 + 10 \ln (\frac{x}{2}) + 5$

चरण 3.4.2.2

$10$ और $5$ जोड़ें.

$f'' (x) = 10 \ln (\frac{x}{2}) + 15$

चरण 4

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$

चरण 5

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$

चरण 5.1.2

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 5.1.3

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\frac{x}{2}$ के रूप में सेट करें.

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 5.1.3.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 5.1.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\frac{x}{2}$ से बदलें.

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 5.1.4

$\frac{x}{2}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$5 (x^{2} (1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 5.1.5

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.5.1

$\frac{2}{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$5 (x^{2} (\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 5.1.5.2

$\frac{2}{x}$ और $x^{2}$ को मिलाएं.

$5 (\frac{2 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 5.1.5.3

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.5.3.1

$2 x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$5 (\frac{x (2 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 5.1.5.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.5.3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$5 (\frac{x (2 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 5.1.5.3.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 5.1.5.3.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 5.1.5.3.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$5 (\frac{2 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 5.1.5.3.2.5

$2 x$ को $1$ से विभाजित करें.

$5 (2 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 5.1.6

$5 (2 x (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 5.1.7

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.7.1

$2$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$5 (x (\frac{2}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 5.1.7.2

$\frac{2}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 5.1.7.3

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.7.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 5.1.7.3.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 5.1.8

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 5.1.9

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 5.1.10

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

चरण 5.1.11

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.11.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

चरण 5.1.11.2

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{2}) x$

चरण 5.1.11.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$f' (x) = 10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

चरण 5.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$ है.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

चरण 6

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$

चरण 6.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $5 x$ घटाएं.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$

चरण 6.3

$10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$ के प्रत्येक पद को $10 x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$ के प्रत्येक पद को $10 x$ से विभाजित करें.

$\frac{10 x \ln (\frac{x}{2})}{10 x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

चरण 6.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1

$10$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{10 x \ln (\frac{x}{2})}{10 x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

चरण 6.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x \ln (\frac{x}{2})}{x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

चरण 6.3.2.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x \ln (\frac{x}{2})}{x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

चरण 6.3.2.2.2

$\ln (\frac{x}{2})$ को $1$ से विभाजित करें.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- 5 x}{10 x}$

चरण 6.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1

$- 5$ और $10$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1.1

$- 5 x$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{10 x}$

चरण 6.3.3.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.1.2.1

$10 x$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{5 (2 x)}$

चरण 6.3.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{5 (2 x)}$

चरण 6.3.3.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- x}{2 x}$

चरण 6.3.3.2

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- x}{2 x}$

चरण 6.3.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- 1}{2}$

चरण 6.3.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\ln (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{2}$

चरण 6.4

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{x}{2})} = e^{- \frac{1}{2}}$

चरण 6.5

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{2}$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{- \frac{1}{2}} = \frac{x}{2}$

चरण 6.6

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.1

समीकरण को $\frac{x}{2} = e^{- \frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x}{2} = e^{- \frac{1}{2}}$

चरण 6.6.2

समीकरण के दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$2 \frac{x}{2} = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

चरण 6.6.3

समीकरण के दोनों पक्षों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.3.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.3.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \frac{x}{2} = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

चरण 6.6.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

चरण 6.6.3.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.3.2.1

$2 e^{- \frac{1}{2}}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.6.3.2.1.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$x = 2 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

चरण 6.6.3.2.1.2

$2$ और $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

चरण 7

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

यह पता लगाने के लिए कि व्यंजक कहाँ अपरिभाषित है, तर्क को $\ln (\frac{x}{2})$ से कम या उसके बराबर $0$ में सेट करें.

$\frac{x}{2} \leq 0$

चरण 7.2

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

चरण 7.2.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

चरण 7.2.2.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x \leq 0 \cdot 2$

चरण 7.2.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.2.1

$0$ को $2$ से गुणा करें.

$x \leq 0$

चरण 7.3

समीकरण अपरिभाषित है जहाँ भाजक $0$ के बराबर है, एक वर्गमूल का तर्क $0$ से कम है या एक लघुगणक का तर्क $0$ से कम या उसके बराबर है.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

चरण 8

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

चरण 9

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$10 \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2}) + 15$

चरण 10

दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$10 \ln (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}) + 15$

चरण 10.1.2

जोड़ना.

$10 \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 15$

चरण 10.1.3

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$10 \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 15$

चरण 10.1.3.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$10 \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 15$

चरण 10.1.4

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $e^{\frac{1}{2}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$10 \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 15$

चरण 10.1.5

$- \frac{1}{2}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ का प्रसार करें.

$10 (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 15$

चरण 10.1.6

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$10 (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 15$

चरण 10.1.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$10 (- \frac{1}{2}) + 15$

चरण 10.1.8

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.8.1

$- \frac{1}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$10 (\frac{- 1}{2}) + 15$

चरण 10.1.8.2

$10$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$2 (5) \frac{- 1}{2} + 15$

चरण 10.1.8.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 \cdot 5 \frac{- 1}{2} + 15$

चरण 10.1.8.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$5 \cdot - 1 + 15$

चरण 10.1.9

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 5 + 15$

चरण 10.2

$- 5$ और $15$ जोड़ें.

$10$

चरण 11

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ एक स्थानीय न्यूनतम है क्योंकि दूसरे व्युत्पन्न का मान धनात्मक है. इसे दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के रूप में जाना जाता है.

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ एक स्थानीय न्यूनतम है.

चरण 12

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ होने पर y-मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ से बदलें.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 {(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

चरण 12.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.1.1

उत्पाद नियम को $\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ पर लागू करें.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{2^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

चरण 12.2.1.2

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

चरण 12.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.2.1

घातांक को ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.2.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

चरण 12.2.2.1.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.2.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

चरण 12.2.2.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

चरण 12.2.2.2

सरल करें.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

चरण 12.2.3

$5 \frac{4}{e}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.3.1

$5$ और $\frac{4}{e}$ को मिलाएं.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{5 \cdot 4}{e} \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

चरण 12.2.3.2

$5$ को $4$ से गुणा करें.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

चरण 12.2.4

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2})$

चरण 12.2.5

जोड़ना.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2})$

चरण 12.2.6

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करके व्यंजक $\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$ को छोटा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2})$

चरण 12.2.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

चरण 12.2.7

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

चरण 12.2.8

$- \frac{1}{2}$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ का प्रसार करें.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \ln (e))$

चरण 12.2.9

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

चरण 12.2.10

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2})$

चरण 12.2.11

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.11.1

$- \frac{1}{2}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

चरण 12.2.11.2

$20$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{2 (10)}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

चरण 12.2.11.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{2 \cdot 10}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

चरण 12.2.11.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{10}{e} \cdot - 1$

चरण 12.2.12

$\frac{10}{e}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{10 \cdot - 1}{e}$

चरण 12.2.13

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.2.13.1

$10$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{- 10}{e}$

चरण 12.2.13.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{10}{e}$

चरण 12.2.14

अंतिम उत्तर $- \frac{10}{e}$ है.

$y = - \frac{10}{e}$

चरण 13

ये $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.

$(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{10}{e})$ एक स्थानीय निम्नत्तम है

चरण 14