कैलकुलस उदाहरण

$y = f (x)$

चरण 1

$y = f (x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = f (x)$

चरण 2

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $f (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d f}{d x}$ है.

$\frac{d f}{d x}$

चरण 3

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$d$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{d f}{d x})$

चरण 3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{f}{x})$

चरण 3.2

चूंकि $f$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{f}{x}$ का व्युत्पन्न $f \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$f'' (x) = f \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

चरण 3.3

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = f \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$f'' (x) = f (- x^{- 2})$

चरण 3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = f (- \frac{1}{x^{2}})$

चरण 3.5.2

$f$ और $\frac{1}{x^{2}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = - \frac{f}{x^{2}}$

चरण 4

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$\frac{d f}{d x} = 0$

चरण 5

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

फलन नियम का उपयोग करके अंतर करें जो बताता है कि $f (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d f}{d x}$ है.

$f' (x) = \frac{d f}{d x}$

चरण 5.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{d f}{d x}$ है.

$\frac{d f}{d x}$

चरण 6

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{d f}{d x} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{d f}{d x} = 0$

चरण 6.2

$d$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d f}{d x} = 0$

चरण 6.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{f}{x} = 0$

चरण 6.3

समीकरण के दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करें.

$f = x (0)$

चरण 6.4

समीकरण को $x (0) = f$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (0) = f$

चरण 6.5

$x$ को $0$ से गुणा करें.

$0 = f$

चरण 6.6

$0 = f$ को फिर से लिखें ताकि $f$ बाईं ओर हो.

$f = 0$

चरण 6.7

चर $x$ रद्द हो गया.

सभी वास्तविक संख्या

चरण 7

वे मान ज्ञात करें जहाँ व्युत्पन्न अपरिभाषित है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$\frac{d f}{d x}$ में भाजक को $0$ के बराबर सेट करें ताकि यह पता लगाया जा सके कि व्यंजक कहां अपरिभाषित है.

$d x = 0$

चरण 7.2

$d x = 0$ के प्रत्येक पद को $x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$d x = 0$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

चरण 7.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

चरण 7.2.2.1.2

$d$ को $1$ से विभाजित करें.

$d = \frac{0}{x}$

चरण 7.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.3.1

$0$ को $x$ से विभाजित करें.

$d = 0$

चरण 8

मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.

$x = A l \cdot l$ real $n u m b e r s, 0$

चरण 9

$x = A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)$ पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.

$- \frac{f}{{(A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s))}^{2}}$

चरण 10

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1.1

$l$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l) r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

चरण 10.1.2

$l$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l^{1}) r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

चरण 10.1.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{f}{{(A l^{1 + 1} r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

चरण 10.1.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{f}{{(A l^{2} r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

चरण 10.1.5

$l$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l^{2}) r e a n u m b e r s)}^{2}}$

चरण 10.1.6

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{f}{{(A l^{1 + 2} r e a n u m b e r s)}^{2}}$

चरण 10.1.7

$1$ और $2$ जोड़ें.

$- \frac{f}{{(A l^{3} r e a n u m b e r s)}^{2}}$

चरण 10.1.8

$e$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b (e^{1} e) r s)}^{2}}$

चरण 10.1.9

$e$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b (e^{1} e^{1}) r s)}^{2}}$

चरण 10.1.10

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b e^{1 + 1} r s)}^{2}}$

चरण 10.1.11

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b e^{2} r s)}^{2}}$

चरण 10.1.12

$r$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} (r^{1} r) s)}^{2}}$

चरण 10.1.13

$r$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} (r^{1} r^{1}) s)}^{2}}$

चरण 10.1.14

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{1 + 1} s)}^{2}}$

चरण 10.1.15

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s)}^{2}}$

चरण 10.2

उत्पाद नियम को $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s$ पर लागू करें.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2})}^{2} s^{2}}$

चरण 10.3

घातांक वितरण करने के लिए घात नियम ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.3.1

उत्पाद नियम को $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2}$ पर लागू करें.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

चरण 10.3.2

उत्पाद नियम को $A l^{3} a n u m b e^{2}$ पर लागू करें.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b)}^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

चरण 10.3.3

उत्पाद नियम को $A l^{3} a n u m b$ पर लागू करें.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m)}^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

चरण 10.3.4

उत्पाद नियम को $A l^{3} a n u m$ पर लागू करें.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u)}^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

चरण 10.3.5

उत्पाद नियम को $A l^{3} a n u$ पर लागू करें.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n)}^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

चरण 10.3.6

उत्पाद नियम को $A l^{3} a n$ पर लागू करें.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a)}^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

चरण 10.3.7

उत्पाद नियम को $A l^{3} a$ पर लागू करें.

$- \frac{f}{{(A l^{3})}^{2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

चरण 10.3.8

उत्पाद नियम को $A l^{3}$ पर लागू करें.

$- \frac{f}{A^{2} {(l^{3})}^{2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

चरण 10.4

घातांक को ${(l^{3})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.4.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{3 \cdot 2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

चरण 10.4.2

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

चरण 10.5

घातांक को ${(e^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{2 \cdot 2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

चरण 10.5.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

चरण 10.6

घातांक को ${(r^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.6.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} r^{2 \cdot 2} s^{2}}$

चरण 10.6.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} r^{4} s^{2}}$

चरण 11

चूँकि पहला व्युत्पन्न परीक्षण विफल रहा, इसलिए कोई स्थानीय एक्सट्रीमा नहीं है.

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 12