कैलकुलस उदाहरण

$C (t) = 3 t e^{- \frac{t}{3}}$

चरण 1

चूँकि $3$ बटे $t$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$3 \int t e^{- \frac{t}{3}} d t$

चरण 2

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = t$ और $d v = e^{- \frac{t}{3}}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{1}{3} t}) - \int - 3 e^{- \frac{1}{3} t} d t)$

चरण 3

चूँकि $- 3$ बटे $t$ अचर है, $- 3$ को समाकलन से हटा दें.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{1}{3} t}) - (- 3 \int e^{- \frac{1}{3} t} d t))$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$t$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - (- 3 \int e^{- \frac{1}{3} t} d t))$

चरण 4.2

$t$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - (- 3 \int e^{- \frac{t}{3}} d t))$

चरण 4.3

$- 3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int e^{- \frac{t}{3}} d t)$

चरण 5

मान लीजिए $u = - \frac{t}{3}$ .फिर $d u = - \frac{1}{3} d t$ , तो $- 3 d u = d t$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = - \frac{t}{3}$ . $\frac{d u}{d t}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$- \frac{t}{3}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d t} [- \frac{t}{3}]$

चरण 5.1.2

चूंकि $- \frac{1}{3}$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- \frac{t}{3}$ का व्युत्पन्न $- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$ है.

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- \frac{1}{3} \cdot 1$

चरण 5.1.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{3}$

चरण 5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{3}} d u)$

चरण 6

सरल करें.

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चरण 6.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u)$

चरण 6.2

$\frac{1}{3}$ से भाग देने के लिए भिन्न के प्रतिलोम से गुणा करें.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} (1 \cdot 3) d u)$

चरण 6.3

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - e^{u} \cdot 3 d u)$

चरण 6.4

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 \int - 3 e^{u} d u)$

चरण 7

चूँकि $- 3$ बटे $u$ अचर है, $- 3$ को समाकलन से हटा दें.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 3 \int e^{u} d u))$

चरण 8

$- 3$ को $3$ से गुणा करें.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 \int e^{u} d u)$

चरण 9

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 (e^{u} + C))$

चरण 10

$3 (t (- 3 e^{- \frac{t}{3}}) - 9 (e^{u} + C))$ को $3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{u}) + C$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{u}) + C$

चरण 11

$u$ की सभी घटनाओं को $- \frac{t}{3}$ से बदलें.

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}} - 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

चरण 12

सरल करें.

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चरण 12.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (- 3 t e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

चरण 12.2

$- 3$ को $3$ से गुणा करें.

$- 9 (t e^{- \frac{t}{3}}) + 3 (- 9 e^{- \frac{t}{3}}) + C$

चरण 12.3

$- 9$ को $3$ से गुणा करें.

$- 9 t e^{- \frac{t}{3}} - 27 e^{- \frac{t}{3}} + C$

चरण 13

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 9 t e^{- \frac{1}{3} t} - 27 e^{- \frac{1}{3} t} + C$