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कैलकुलस उदाहरण
चरण 1
चरण 1.1
अवकलन करें.
चरण 1.1.1
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 1.1.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 1.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 1.2.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 1.2.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 1.2.3
को से गुणा करें.
चरण 2
चरण 2.1
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 2.2.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.2.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 2.2.3
को से गुणा करें.
चरण 2.3
का मान ज्ञात करें.
चरण 2.3.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 2.3.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 2.3.3
को से गुणा करें.
चरण 3
फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को के बराबर सेट करें और हल करें.
चरण 4
चरण 4.1
पहला व्युत्पन्न पता करें.
चरण 4.1.1
अवकलन करें.
चरण 4.1.1.1
योग नियम के अनुसार, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 4.1.1.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 4.1.2
का मान ज्ञात करें.
चरण 4.1.2.1
चूंकि , के संबंध में स्थिर है, के संबंध में का व्युत्पन्न है.
चरण 4.1.2.2
घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि है, जहाँ है.
चरण 4.1.2.3
को से गुणा करें.
चरण 4.2
का पहला व्युत्पन्न बटे , है.
चरण 5
चरण 5.1
पहले व्युत्पन्न को के बराबर सेट करें.
चरण 5.2
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.2.1
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.2.2
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.2.3
में से का गुणनखंड करें.
चरण 5.3
यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक के बराबर होगा.
चरण 5.4
को के बराबर सेट करें और के लिए हल करें.
चरण 5.4.1
को के बराबर सेट करें.
चरण 5.4.2
के लिए हल करें.
चरण 5.4.2.1
बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I
चरण 5.4.2.2
को सरल करें.
चरण 5.4.2.2.1
को के रूप में फिर से लिखें.
चरण 5.4.2.2.2
वास्तविक संख्या मानकर, करणी के अंतर्गत से पदों को बाहर निकालें.
चरण 5.5
को के बराबर सेट करें और के लिए हल करें.
चरण 5.5.1
को के बराबर सेट करें.
चरण 5.5.2
के लिए हल करें.
चरण 5.5.2.1
समीकरण के दोनों पक्षों में जोड़ें.
चरण 5.5.2.2
बाईं ओर के घातांक को समाप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का निर्दिष्ट मूल लें I
चरण 5.5.2.3
पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.
चरण 5.5.2.3.1
सबसे पहले, पहला समाधान पता करने के लिए के धनात्मक मान का उपयोग करें.
चरण 5.5.2.3.2
इसके बाद, दूसरा हल ज्ञात करने के लिए के ऋणात्मक मान का उपयोग करें.
चरण 5.5.2.3.3
पूर्ण हल के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों भागों का परिणाम है.
चरण 5.6
अंतिम हल वो सभी मान हैं जो को सिद्ध करते हैं.
चरण 6
चरण 6.1
व्यंजक का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है. इस स्थिति में, कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो व्यंजक को अपरिभाषित बनाती है.
चरण 7
मूल्यांकन के लिए क्रांतिक बिन्दु.
चरण 8
पर दूसरा व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें. यदि दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय न्यूनतम है. यदि यह नकारात्मक है, तो यह एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 9
चरण 9.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 9.1.1
को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से प्राप्त होता है.
चरण 9.1.2
को से गुणा करें.
चरण 9.1.3
को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से प्राप्त होता है.
चरण 9.1.4
को से गुणा करें.
चरण 9.2
और जोड़ें.
चरण 10
चरण 10.1
को मानों के लगभग अलग-अलग अंतराल में विभाजित करें जो पहले व्युत्पन्न या अपरिभाषित बनाते हैं.
चरण 10.2
पहले व्युत्पन्न में अंतराल से कोई भी संख्या, जैसे को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.
चरण 10.2.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 10.2.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 10.2.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 10.2.2.1.1
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 10.2.2.1.2
को से गुणा करें.
चरण 10.2.2.1.3
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 10.2.2.1.4
को से गुणा करें.
चरण 10.2.2.2
और जोड़ें.
चरण 10.2.2.3
अंतिम उत्तर है.
चरण 10.3
पहले व्युत्पन्न में अंतराल से कोई भी संख्या, जैसे को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.
चरण 10.3.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 10.3.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 10.3.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 10.3.2.1.1
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 10.3.2.1.2
को से गुणा करें.
चरण 10.3.2.1.3
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 10.3.2.1.4
को से गुणा करें.
चरण 10.3.2.2
और जोड़ें.
चरण 10.3.2.3
अंतिम उत्तर है.
चरण 10.4
पहले व्युत्पन्न में अंतराल से कोई भी संख्या, जैसे को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.
चरण 10.4.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 10.4.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 10.4.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 10.4.2.1.1
एक का कोई भी घात एक होता है.
चरण 10.4.2.1.2
को से गुणा करें.
चरण 10.4.2.1.3
एक का कोई भी घात एक होता है.
चरण 10.4.2.1.4
को से गुणा करें.
चरण 10.4.2.2
में से घटाएं.
चरण 10.4.2.3
अंतिम उत्तर है.
चरण 10.5
पहले व्युत्पन्न में अंतराल से कोई भी संख्या, जैसे को यह जांचने के लिए प्रतिस्थापित करें कि परिणाम ऋणात्मक या धनात्मक है.
चरण 10.5.1
व्यंजक में चर को से बदलें.
चरण 10.5.2
परिणाम को सरल बनाएंं.
चरण 10.5.2.1
प्रत्येक पद को सरल करें.
चरण 10.5.2.1.1
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 10.5.2.1.2
को से गुणा करें.
चरण 10.5.2.1.3
को के घात तक बढ़ाएं.
चरण 10.5.2.1.4
को से गुणा करें.
चरण 10.5.2.2
में से घटाएं.
चरण 10.5.2.3
अंतिम उत्तर है.
चरण 10.6
चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को ऋणात्मक से धनात्मक में के लगभग बदल दिया, तो एक स्थानीय न्यूनतम है.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
चरण 10.7
चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को धनात्मक से ऋणात्मक में के लगभग बदल दिया, तो एक स्थानीय अधिकतम है.
एक स्थानीय अधिकतम है.
चरण 10.8
चूँकि पहले व्युत्पन्न ने संकेतों को ऋणात्मक से धनात्मक में के लगभग बदल दिया, तो एक स्थानीय न्यूनतम है.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
चरण 10.9
ये के लिए स्थानीय उच्चत्तम मान हैं.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
एक स्थानीय अधिकतम है.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
एक स्थानीय अधिकतम है.
एक स्थानीय न्यूनतम है.
चरण 11