कैलकुलस उदाहरण

$\frac{x + 2}{x^{2} - 5 x - 14}$

चरण 1

$\frac{x + 2}{x^{2} - 5 x - 14}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 5 x - 14}$

चरण 2

फलन का पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x + 2$ और $g (x) = x^{2} - 5 x - 14$ है.

$\frac{(x^{2} - 5 x - 14) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 14]}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{(x^{2} - 5 x - 14) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 14]}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x^{2} - 5 x - 14) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 14]}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x^{2} - 5 x - 14) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 14]}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x^{2} - 5 x - 14) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 14]}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.2.4.2

$x^{2} - 5 x - 14$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 5 x - 14 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 14]}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.2.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 5 x - 14$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 14]$ है.

$\frac{x^{2} - 5 x - 14 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 14])}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{x^{2} - 5 x - 14 - (x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 14])}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.2.7

चूंकि $- 5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5 x$ का व्युत्पन्न $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{x^{2} - 5 x - 14 - (x + 2) (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 14])}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.2.8

$\frac{x^{2} - 5 x - 14 - (x + 2) (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 14])}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.2.9

$- 5$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 5 x - 14 - (x + 2) (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [- 14])}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.2.10

चूंकि $x$ के संबंध में $- 14$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 14$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{x^{2} - 5 x - 14 - (x + 2) (2 x - 5 + 0)}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.2.11

$2 x - 5$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{x^{2} - 5 x - 14 - (x + 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} - 5 x - 14 + (- x - 1 \cdot 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 5 x - 14 + (- x - 2) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3.2.1.2

FOIL विधि का उपयोग करके $(- x - 2) (2 x - 5)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} - 5 x - 14 - x (2 x - 5) - 2 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3.2.1.2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} - 5 x - 14 - x (2 x) - x \cdot - 5 - 2 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3.2.1.2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} - 5 x - 14 - x (2 x) - x \cdot - 5 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3.2.1.3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.3.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{x^{2} - 5 x - 14 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 5 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3.2.1.3.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1.3.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{x^{2} - 5 x - 14 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 5 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3.2.1.3.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 5 x - 14 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 5 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3.2.1.3.1.3

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 5 x - 14 - 2 x^{2} - x \cdot - 5 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3.2.1.3.1.4

$- 5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 5 x - 14 - 2 x^{2} + 5 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3.2.1.3.1.5

$2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 5 x - 14 - 2 x^{2} + 5 x - 4 x - 2 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3.2.1.3.1.6

$- 2$ को $- 5$ से गुणा करें.

$\frac{x^{2} - 5 x - 14 - 2 x^{2} + 5 x - 4 x + 10}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3.2.1.3.2

$5 x$ में से $4 x$ घटाएं.

$\frac{x^{2} - 5 x - 14 - 2 x^{2} + x + 10}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3.2.2

$x^{2}$ में से $2 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{- x^{2} - 5 x - 14 + x + 10}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3.2.3

$- 5 x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{- x^{2} - 4 x - 14 + 10}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3.2.4

$- 14$ और $10$ जोड़ें.

$\frac{- x^{2} - 4 x - 4}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3.3

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ है और जिसका योग $b = - 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1.1

$- 4 x$ में से $- 4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- x^{2} - 4 (x) - 4}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3.3.1.2

$- 4$ को $- 2$ जोड़ $- 2$ के रूप में फिर से लिखें

$\frac{- x^{2} + (- 2 - 2) x - 4}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3.3.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- x^{2} - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3.3.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{(- x^{2} - 2 x) - 2 x - 4}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3.3.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{x (- x - 2) + 2 (- x - 2)}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3.3.3

महत्तम समापवर्तक, $- x - 2$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x^{2} - 5 x - 14)}^{2}}$

चरण 2.3.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 5 x - 14$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.4.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $- 14$ है और जिसका योग $- 5$ है.

$- 7, 2$

चरण 2.3.4.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{((x - 7) (x + 2))}^{2}}$

चरण 2.3.4.2

उत्पाद नियम को $(x - 7) (x + 2)$ पर लागू करें.

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x - 7)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

चरण 2.3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.5.1

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(- (x) - 2) (x + 2)}{{(x - 7)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

चरण 2.3.5.2

$- 2$ को $- 1 (2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{(- (x) - 1 (2)) (x + 2)}{{(x - 7)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

चरण 2.3.5.3

$- (x) - 1 (2)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x + 2) (x + 2)}{{(x - 7)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

चरण 2.3.5.4

$- (x + 2)$ को $- 1 (x + 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (x + 2) (x + 2)}{{(x - 7)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

चरण 2.3.5.5

$x + 2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- 1 ({(x + 2)}^{1} (x + 2))}{{(x - 7)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

चरण 2.3.5.6

$x + 2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- 1 ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1})}{{(x - 7)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

चरण 2.3.5.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{1 + 1}}{{(x - 7)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

चरण 2.3.5.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 7)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

चरण 2.3.6

${(x + 2)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.6.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 7)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

चरण 2.3.6.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{{(x - 7)}^{2}}$

चरण 2.3.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$

चरण 3

फलन का दूसरा व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = - 1$ और $g (x) = \frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$ है.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 3.2

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$\frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$ को ${({(x - 7)}^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(x - 7)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 3.2.2

घातांक को ${({(x - 7)}^{2})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 3.2.2.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 7)}^{- 2} + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 2}$ और $g (x) = x - 7$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 7$ के रूप में सेट करें.

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 7)) + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 2$ है.

$f'' (x) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 7)) + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 7$ से बदलें.

$f'' (x) = - (- 2 {(x - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 7)) + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 3.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$- 2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 ({(x - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 7)) + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 3.4.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 7$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ है.

$f'' (x) = 2 {(x - 7)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7)) + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 3.4.3

$f'' (x) = 2 {(x - 7)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 7)) + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 3.4.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 7$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 7$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 2 {(x - 7)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 3.4.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 2 {(x - 7)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 3.4.5.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 {(x - 7)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

चरण 3.4.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$f'' (x) = 2 {(x - 7)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} \cdot 0$

चरण 3.4.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.1

$\frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$ को $0$ से गुणा करें.

$f'' (x) = 2 {(x - 7)}^{- 3} + 0$

चरण 3.4.7.2

$2 {(x - 7)}^{- 3}$ और $0$ जोड़ें.

$f'' (x) = 2 {(x - 7)}^{- 3}$

चरण 3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{{(x - 7)}^{3}})$

चरण 3.5.2

$2$ और $\frac{1}{{(x - 7)}^{3}}$ को मिलाएं.

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 7)}^{3}}$

चरण 4

फलन के स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें और हल करें.

$- \frac{1}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

चरण 5

चूंकि $x$ का कोई मान नहीं है जो पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाता है, इसलिए कोई स्थानीय एक्स्ट्रेमा नहीं है.

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 6

कोई स्थानीय उच्चत्तम मान नहीं

चरण 7