कैलकुलस उदाहरण

$y = \cot^{-1} (\sqrt{2 t})$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \cot^{-1} (t)$ और $g (t) = \sqrt{2 t}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $\sqrt{2 t}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\cot^{-1} (u)] \frac{d}{d t} [\sqrt{2 t}]$

चरण 1.2

$u$ के संबंध में $\cot^{-1} (u)$ का व्युत्पन्न $- \frac{1}{1 + u^{2}}$ है.

$- \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{2 t}]$

चरण 1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $\sqrt{2 t}$ से बदलें.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [\sqrt{2 t}]$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

$\sqrt{2 t}$ को ${(2 t)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [{(2 t)}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.2

गुणनखंड निकालकर सरलीकृत करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

$2 t$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [{(2 (t))}^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.2.2

उत्पाद नियम को $2 (t)$ पर लागू करें.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \frac{d}{d t} [2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

चरण 2.3

चूंकि $2^{\frac{1}{2}}$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ का व्युत्पन्न $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ है.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

चरण 2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

चरण 3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

चरण 4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

चरण 5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

चरण 6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

चरण 6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

चरण 7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

चरण 8

$\frac{1}{2}$ और $t^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} (2^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

चरण 9

$2^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 10

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 10.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ का उपयोग करके $2^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

चरण 10.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $t^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11

घातांक जोड़कर $2$ को $2^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1

$2$ को $2^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 11.1.1

$2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 11.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$- \frac{1}{1 + {\sqrt{2 t}}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 12

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1

${\sqrt{2 t}}^{2}$ को $2 t$ के रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.1

$\sqrt{2 t}$ को ${(2 t)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$- \frac{1}{1 + {({(2 t)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 12.1.2

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{1 + {(2 t)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 12.1.3

$\frac{1}{2}$ और $2$ को मिलाएं.

$- \frac{1}{1 + {(2 t)}^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 12.1.4

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 12.1.4.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$- \frac{1}{1 + {(2 t)}^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 12.1.4.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$- \frac{1}{1 + {(2 t)}^{1}} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 12.1.5

सरल करें.

$- \frac{1}{1 + 2 t} \cdot \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$

चरण 12.2

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{1 + 2 t}$ से गुणा करें.

$- \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} (1 + 2 t)}$