कैलकुलस उदाहरण

$10 x + 10 \cos (x)$

चरण 1

$10 x + 10 \cos (x)$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = 10 x + 10 \cos (x)$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $10 x + 10 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [10 \cos (x)]$ है.

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [10 \cos (x)]$

चरण 2.1.2

$\frac{d}{d x} [10 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $10$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $10 x$ का व्युत्पन्न $10 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 \cos (x)]$

चरण 2.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 \cos (x)]$

चरण 2.1.2.3

$10$ को $1$ से गुणा करें.

$10 + \frac{d}{d x} [10 \cos (x)]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [10 \cos (x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $10$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $10 \cos (x)$ का व्युत्पन्न $10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$10 + 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

चरण 2.1.3.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$10 + 10 (- \sin (x))$

चरण 2.1.3.3

$- 1$ को $10$ से गुणा करें.

$f' (x) = 10 - 10 \sin (x)$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $10 - 10 \sin (x)$ है.

$10 - 10 \sin (x)$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $10 - 10 \sin (x) = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$10 - 10 \sin (x) = 0$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $10$ घटाएं.

$- 10 \sin (x) = - 10$

चरण 3.3

$- 10 \sin (x) = - 10$ के प्रत्येक पद को $- 10$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- 10 \sin (x) = - 10$ के प्रत्येक पद को $- 10$ से विभाजित करें.

$\frac{- 10 \sin (x)}{- 10} = \frac{- 10}{- 10}$

चरण 3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$- 10$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- 10 \sin (x)}{- 10} = \frac{- 10}{- 10}$

चरण 3.3.2.1.2

$\sin (x)$ को $1$ से विभाजित करें.

$\sin (x) = \frac{- 10}{- 10}$

चरण 3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$- 10$ को $- 10$ से विभाजित करें.

$\sin (x) = 1$

चरण 3.4

ज्या के अंदर से $x$ निकालने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों की व्युत्क्रम ज्या लें.

$x = \arcsin (1)$

चरण 3.5

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$\arcsin (1)$ का सटीक मान $\frac{π}{2}$ है.

$x = \frac{π}{2}$

चरण 3.6

पहले और दूसरे चतुर्थांश में ज्या फलन धनात्मक होता है. दूसरा हल पता करने के लिए, दूसरे चतुर्थांश में हल पता करने के लिए संदर्भ कोण को $π$ से घटाएं.

$x = π - \frac{π}{2}$

चरण 3.7

$π - \frac{π}{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

$π$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 3.7.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.1

$π$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

चरण 3.7.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

चरण 3.7.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.3.1

$2$ को $π$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

चरण 3.7.3.2

$2 π$ में से $π$ घटाएं.

$x = \frac{π}{2}$

चरण 3.8

$\sin (x)$ का आवर्त ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1

फलन की अवधि की गणना $\frac{2 π}{| b |}$ का उपयोग करके की जा सकती है.

$\frac{2 π}{| b |}$

चरण 3.8.2

आवर्त काल के लिए सूत्र में $b$ को $1$ से बदलें.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

चरण 3.8.3

निरपेक्ष मान किसी संख्या और शून्य के बीच की दूरी है. $0$ और $1$ के बीच की दूरी $1$ है.

$\frac{2 π}{1}$

चरण 3.8.4

$2 π$ को $1$ से विभाजित करें.

$2 π$

चरण 3.9

$\sin (x)$ फलन की अवधि $2 π$ है, इसलिए मान प्रत्येक $2 π$ रेडियन को दोनों दिशाओं में दोहराएंगे.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए

चरण 4

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $\frac{π}{2} + 2 π n$ हैं.

$\frac{π}{2} + 2 π n$

चरण 5

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = 10 - 10 \sin (x)$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = 10 x + 10 \cos (x)$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ है.

$(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{2} + 2 π n - 1$ से बदलें.

$f' (\frac{π}{2} + 2 π n - 1) = 10 - 10 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$

चरण 6.2

अंतिम उत्तर $10 - 10 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$ है.

$10 - 10 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$

चरण 6.3

सरल करें.

$10 - 10 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$

चरण 6.4

$x = \frac{π}{2} + 2 π n - 1$ पर व्युत्पन्न $10 - 10 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $\frac{π}{2} + 2 π n + 1$ से बदलें.

$f' (\frac{π}{2} + 2 π n + 1) = 10 - 10 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$

चरण 7.2

अंतिम उत्तर $10 - 10 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$ है.

$10 - 10 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$

चरण 7.3

सरल करें.

$10 - 10 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$

चरण 7.4

$x = \frac{π}{2} + 2 π n + 1$ पर व्युत्पन्न $10 - 10 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n), (\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$

चरण 9