कैलकुलस उदाहरण

$\frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$

चरण 1

$\frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = \frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चूंकि $7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $\frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 36}]$ है.

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} + 36}]$

चरण 2.1.2

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x^{2} + 36$ है.

$7 \frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$7 \frac{(x^{2} + 36) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.3.2

$2$ को $x^{2} + 36$ के बाईं ओर ले जाएं.

$7 \frac{2 \cdot (x^{2} + 36) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.3.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 36$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ है.

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.3.4

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $36$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $36$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.3.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.6.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.3.6.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.4

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.5

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.6

$1$ और $2$ जोड़ें.

$7 \frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.7

$7$ और $\frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{7 (2 (x^{2} + 36) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{7 ((2 x^{2} + 2 \cdot 36) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.8.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{7 (2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.8.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{7 (2 x^{2} x) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.8.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.8.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.8.4.1.1

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.8.4.1.1.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{7 (2 (x \cdot x^{2})) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.8.4.1.1.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.8.4.1.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{7 (2 (x^{1} x^{2})) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.8.4.1.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{7 (2 x^{1 + 2}) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.8.4.1.1.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{7 (2 x^{3}) + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.8.4.1.2

$2$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{14 x^{3} + 7 (2 \cdot 36 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.8.4.1.3

$2$ को $36$ से गुणा करें.

$\frac{14 x^{3} + 7 (72 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.8.4.1.4

$72$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{14 x^{3} + 504 x + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.8.4.1.5

$- 2$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{14 x^{3} + 504 x - 14 x^{3}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.8.4.2

$14 x^{3} + 504 x - 14 x^{3}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.8.4.2.1

$14 x^{3}$ में से $14 x^{3}$ घटाएं.

$\frac{504 x + 0}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.1.8.4.2.2

$504 x$ और $0$ जोड़ें.

$f' (x) = \frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ है.

$\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$\frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$

चरण 3.2

न्यूमेरेटर को शून्य के बराबर सेट करें.

$504 x = 0$

चरण 3.3

$504 x = 0$ के प्रत्येक पद को $504$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$504 x = 0$ के प्रत्येक पद को $504$ से विभाजित करें.

$\frac{504 x}{504} = \frac{0}{504}$

चरण 3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$504$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{504 x}{504} = \frac{0}{504}$

चरण 3.3.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{0}{504}$

चरण 3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$0$ को $504$ से विभाजित करें.

$x = 0$

चरण 4

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $0$ हैं.

$0$

चरण 5

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = \frac{504 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = \frac{7 x^{2}}{x^{2} + 36}$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ है.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f' (- 1) = \frac{504 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$504$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = \frac{- 504}{{({(- 1)}^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 6.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = \frac{- 504}{{(1 + 36)}^{2}}$

चरण 6.2.2.2

$1$ और $36$ जोड़ें.

$f' (- 1) = \frac{- 504}{37^{2}}$

चरण 6.2.2.3

$37$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = \frac{- 504}{1369}$

चरण 6.2.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (- 1) = - \frac{504}{1369}$

चरण 6.2.4

अंतिम उत्तर $- \frac{504}{1369}$ है.

$- \frac{504}{1369}$

चरण 6.3

$x = - 1$ पर व्युत्पन्न $- \frac{504}{1369}$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, 0)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, 0)$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f' (1) = \frac{504 (1)}{{({(1)}^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$504$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = \frac{504}{{(1^{2} + 36)}^{2}}$

चरण 7.2.2

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.2.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (1) = \frac{504}{{(1 + 36)}^{2}}$

चरण 7.2.2.2

$1$ और $36$ जोड़ें.

$f' (1) = \frac{504}{37^{2}}$

चरण 7.2.2.3

$37$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (1) = \frac{504}{1369}$

चरण 7.2.3

अंतिम उत्तर $\frac{504}{1369}$ है.

$\frac{504}{1369}$

चरण 7.3

$x = 1$ पर व्युत्पन्न $\frac{504}{1369}$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(0, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(0, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(0, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, 0)$

चरण 9