कैलकुलस उदाहरण

$e^{- 1.5 x^{2}}$

चरण 1

$e^{- 1.5 x^{2}}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - 1.5 x^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $- 1.5 x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

चरण 2.1.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

चरण 2.1.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $- 1.5 x^{2}$ से बदलें.

$e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

चरण 2.1.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चूंकि $- 1.5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1.5 x^{2}$ का व्युत्पन्न $- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

चरण 2.1.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 (2 x))$

चरण 2.1.2.3

$2$ को $- 1.5$ से गुणा करें.

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$

चरण 2.1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$

चरण 2.1.3.2

गुणनखंडों को $- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$ में पुन: क्रमित करें.

$f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ है.

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

चरण 3.2

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

चरण 3.3

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 3.4

$e^{- 1.5 x^{2}}$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$e^{- 1.5 x^{2}}$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

चरण 3.4.2

$x$ के लिए $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.2.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{- 1.5 x^{2}}) = \ln (0)$

चरण 3.4.2.2

समीकरण हल नहीं किया जा सकता क्योंकि $\ln (0)$ अपरिभाषित है.

अपरिभाषित

चरण 3.4.2.3

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ का कोई हल नहीं है

कोई हल नहीं

चरण 3.5

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0$

चरण 4

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $0$ हैं.

$0$

चरण 5

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ है.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, 0)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1$ से बदलें.

$f' (- 1) = - 3 \cdot - 1 \cdot e^{- 1.5 {(- 1)}^{2}}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

$- 3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5 {(- 1)}^{2}}$

चरण 6.2.2

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5 \cdot 1}$

चरण 6.2.3

$- 1.5$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (- 1) = 3 \cdot e^{- 1.5}$

चरण 6.2.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- 1) = 3 \cdot \frac{1}{e^{1.5}}$

चरण 6.2.5

$3$ और $\frac{1}{e^{1.5}}$ को मिलाएं.

$f' (- 1) = \frac{3}{e^{1.5}}$

चरण 6.2.6

$e$ को सन्निकटन से बदलें.

$f' (- 1) = \frac{3}{{2.71828182}^{1.5}}$

चरण 6.2.7

$2.71828182$ को $1.5$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (- 1) = \frac{3}{4.48168907}$

चरण 6.2.8

$3$ को $4.48168907$ से विभाजित करें.

$f' (- 1) = 0.66939048$

चरण 6.2.9

अंतिम उत्तर $0.66939048$ है.

$0.66939048$

चरण 6.3

$x = - 1$ पर व्युत्पन्न $0.66939048$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \infty, 0)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \infty, 0)$ पर बढ़ रहा है

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(0, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $1$ से बदलें.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 \cdot e^{- 1.5 {(1)}^{2}}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5 {(1)}^{2}}$

चरण 7.2.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5 \cdot 1}$

चरण 7.2.3

$- 1.5$ को $1$ से गुणा करें.

$f' (1) = - 3 \cdot e^{- 1.5}$

चरण 7.2.4

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (1) = - 3 \cdot \frac{1}{e^{1.5}}$

चरण 7.2.5

$- 3$ और $\frac{1}{e^{1.5}}$ को मिलाएं.

$f' (1) = \frac{- 3}{e^{1.5}}$

चरण 7.2.6

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$f' (1) = - \frac{3}{e^{1.5}}$

चरण 7.2.7

$e$ को सन्निकटन से बदलें.

$f' (1) = - \frac{3}{{2.71828182}^{1.5}}$

चरण 7.2.8

$2.71828182$ को $1.5$ के घात तक बढ़ाएं.

$f' (1) = - \frac{3}{4.48168907}$

चरण 7.2.9

$3$ को $4.48168907$ से विभाजित करें.

$f' (1) = - 1 \cdot 0.66939048$

चरण 7.2.10

$- 1$ को $0.66939048$ से गुणा करें.

$f' (1) = - 0.66939048$

चरण 7.2.11

अंतिम उत्तर $- 0.66939048$ है.

$- 0.66939048$

चरण 7.3

$x = 1$ पर व्युत्पन्न $- 0.66939048$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(0, \infty)$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(0, \infty)$ पर घटता हुआ

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \infty, 0)$

इस पर घटता हुआ: $(0, \infty)$

चरण 9