कैलकुलस उदाहरण

$y = 7 e^{x}$ , $y = 7 x e^{x}$ , $x = 0$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$7 e^{x} = 7 x e^{x}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $7 e^{x} = 7 x e^{x}$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (7 e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

चरण 1.2.2

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$\ln (7 e^{x})$ को $\ln (7) + \ln (e^{x})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (7) + \ln (e^{x}) = \ln (7 x e^{x})$

चरण 1.2.2.2

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{x})$ का प्रसार करें.

$\ln (7) + x \ln (e) = \ln (7 x e^{x})$

चरण 1.2.2.3

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$\ln (7) + x \cdot 1 = \ln (7 x e^{x})$

चरण 1.2.2.4

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (7) + x = \ln (7 x e^{x})$

चरण 1.2.3

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.3.1

$\ln (7 x e^{x})$ को $\ln (7 x) + \ln (e^{x})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + \ln (e^{x})$

चरण 1.2.3.2

$\ln (7 x)$ को $\ln (7) + \ln (x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + \ln (e^{x})$

चरण 1.2.3.3

$x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{x})$ का प्रसार करें.

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \ln (e)$

चरण 1.2.3.4

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x \cdot 1$

चरण 1.2.3.5

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (7) + x = \ln (7) + \ln (x) + x$

चरण 1.2.4

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.4.1

लघुगणक की गुणनफल गुणधर्म, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ का उपयोग करें.

$\ln (7) + x = \ln (7 x) + x$

चरण 1.2.5

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$\ln (7) - \ln (7 x) = - x + x$

चरण 1.2.6

लघुगणक के भागफल गुण $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ का प्रयोग करें.

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

चरण 1.2.7

$7$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.7.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\ln (\frac{7}{7 x}) = - x + x$

चरण 1.2.7.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\ln (\frac{1}{x}) = - x + x$

चरण 1.2.8

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$\ln (\frac{1}{x}) = 0$

चरण 1.2.9

$x$ के लिए हल करने के लिए, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके समीकरण को फिर से लिखें.

$e^{\ln (\frac{1}{x})} = e^{0}$

चरण 1.2.10

लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए $\ln (\frac{1}{x}) = 0$ को घातीय रूप में फिर से लिखें. अगर $x$ और $b$ धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $b \neq 1$ , तो $\log_{b} (x) = y$ $b^{y} = x$ के बराबर है.

$e^{0} = \frac{1}{x}$

चरण 1.2.11

$x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.11.1

समीकरण को $\frac{1}{x} = e^{0}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{x} = e^{0}$

चरण 1.2.11.2

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$\frac{1}{x} = 1$

चरण 1.2.11.3

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.11.3.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$x, 1 + y = 7 x e^{x}$

चरण 1.2.11.3.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$x + y = 7 x e^{x}$

चरण 1.2.11.4

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{1}{x} = 1$ के प्रत्येक पद को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.11.4.1

$\frac{1}{x} = 1$ के प्रत्येक पद को $x$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x} x = 1 x$

चरण 1.2.11.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.11.4.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.11.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{x} x = 1 x$

चरण 1.2.11.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$1 = 1 x$

चरण 1.2.11.4.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.11.4.3.1

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$1 = x$

चरण 1.2.11.5

समीकरण को $x = 1$ के रूप में फिर से लिखें.

$x = 1$

चरण 1.3

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 1$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = 7 (1) \cdot e^{1}$

चरण 1.3.2

$1$ को $x$ के लिए $y = 7 (1) \cdot e^{1}$ में प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 7 (1) \cdot e$

चरण 1.3.2.2

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$y = 7 e$

चरण 1.4

सिस्टम का हल क्रमित युग्म का पूरा सेट है जो मान्य हल हैं.

$(1, 7 e)$

चरण 2

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x - \int_{0}^{1} 7 e^{x} d x$

चरण 3

$0$ और $1$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - (7 e^{x}) d x$

चरण 3.2

$7$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} - 7 e^{x} d x$

चरण 3.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{1} 7 x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

चरण 3.4

चूँकि $7$ बटे $x$ अचर है, $7$ को समाकलन से हटा दें.

$7 \int_{0}^{1} x e^{x} d x + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

चरण 3.5

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = x$ और $d v = e^{x}$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

चरण 3.6

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) + \int_{0}^{1} - 7 e^{x} d x$

चरण 3.7

चूँकि $- 7$ बटे $x$ अचर है, $- 7$ को समाकलन से हटा दें.

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 \int_{0}^{1} e^{x} d x$

चरण 3.8

$x$ के संबंध में $e^{x}$ का इंटीग्रल $e^{x}$ है.

$7 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

चरण 3.9

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1

$1$ पर और $0$ पर $x e^{x}$ का मान ज्ञात करें.

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

चरण 3.9.2

$1$ पर और $0$ पर $e^{x}$ का मान ज्ञात करें.

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0})) - 7 (e^{x}]_{0}^{1})$

चरण 3.9.3

$1$ पर और $0$ पर $e^{x}$ का मान ज्ञात करें.

$7 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

चरण 3.9.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.4.1

सरल करें.

$7 (1 e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

चरण 3.9.4.2

$e$ को $1$ से गुणा करें.

$7 (e + 0 e^{0} - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

चरण 3.9.4.3

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$7 (e + 0 \cdot 1 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

चरण 3.9.4.4

$0$ को $1$ से गुणा करें.

$7 (e + 0 - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

चरण 3.9.4.5

$e$ और $0$ जोड़ें.

$7 (e - (e^{1} - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

चरण 3.9.4.6

सरल करें.

$7 (e - (e - e^{0})) - 7 (e^{1} - e^{0})$

चरण 3.9.4.7

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$7 (e - (e - 1 \cdot 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

चरण 3.9.4.8

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e^{1} - e^{0})$

चरण 3.9.4.9

सरल करें.

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - e^{0})$

चरण 3.9.4.10

$0$ तक बढ़ाई गई कोई भी चीज़ $1$ होती है.

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1 \cdot 1)$

चरण 3.9.4.11

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$7 (e - (e - 1)) - 7 (e - 1)$

चरण 3.10

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.10.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$7 (e - e - - 1) - 7 (e - 1)$

चरण 3.10.1.1.2

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$7 (e - e + 1) - 7 (e - 1)$

चरण 3.10.1.2

$e$ में से $e$ घटाएं.

$7 (0 + 1) - 7 (e - 1)$

चरण 3.10.1.3

$0$ और $1$ जोड़ें.

$7 \cdot 1 - 7 (e - 1)$

चरण 3.10.1.4

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$7 - 7 (e - 1)$

चरण 3.10.1.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$7 - 7 e - 7 \cdot - 1$

चरण 3.10.1.6

$- 7$ को $- 1$ से गुणा करें.

$7 - 7 e + 7$

चरण 3.10.2

$7$ और $7$ जोड़ें.

$14 - 7 e$

चरण 4